Question

9．已知等差數(shù)列{a_n}首項(xiàng)為a₁，公差為b₁，等比數(shù)列{b_n}首項(xiàng)為b₁，公比為a₁，其中a₁，b₁都是大于1的正整數(shù)，且a₁＜b₁，b₂＜a₃，對(duì)于任意的n∈N^*，總存在m∈N^*，使得a_m+5=b_n成立，則a_n=7n-5．

Answer 1

分析 a_n=a₁+（n-1）b₁，$_{n}=_{1}{a}_{1}^{n-1}$，根據(jù)對(duì)于任意的n∈N^*，總存在m∈N^*，使得a_m+5=b_n成立，可得5+a₁+（m-1）b₁=$_{1}{a}_{1}^{n-1}$，n=1時(shí)，可得5+a₁=（2-m）b₁，由于a₁＜b₁，其中a₁，b₁都是大于1的正整數(shù)，只能m=1，可得5+a₁=b₁．再根據(jù)b₂＜a₃，即可得出．

解答 解：a_n=a₁+（n-1）b₁，$_{n}=_{1}{a}_{1}^{n-1}$，
對(duì)于任意的n∈N^*，總存在m∈N^*，使得a_m+5=b_n成立，
∴5+a₁+（m-1）b₁=$_{1}{a}_{1}^{n-1}$，
n=1時(shí)，5+a₁+（m-1）b₁=b₁，∴5+a₁=（2-m）b₁，
∵a₁＜b₁，其中a₁，b₁都是大于1的正整數(shù)，
∴只能m=1，∴5+a₁=b₁．∴b₁＞6．
∵b₂＜a₃，
∴b₁a₁＜a₁+2b₁，
∴（5+a₁）a₁＜a₁+2（5+a₁），
化為${a}_{1}^{2}+2{a}_{1}$-10＜0，
解得1＜a₁＜$\sqrt{11}$-1，
取a₁=2．∴b₁=7，a_n=2+7（n-1）=7n-5；
b_n=7×2^n-1．
代入a_m+5=b_n，7m-5+5=7×2^n-1，化為m=2^n-1，滿足題意．
故答案為：7n-5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了分析問題與解決問題的能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．