Question

已知函數(shù)f（x）=

2x

x2+1

，求函數(shù)的定義域、值域，并判斷奇偶性和單調(diào)性．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)的值域,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：∵x²+1＞0恒成立，∴函數(shù)的定義域為R．
若x=0，則f（x）=0，
若x≠0時，f（x）=

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

，
若x＞0，x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，此時0＜

2

x+ 1 x

≤1，
若x＜0，則x+

1

x

≤-2

(-x)• 1 -x

=-2，此時-1≤

2

x+ 1 x

＜0，
綜上-1≤f（x）≤1，即函數(shù)的值域為[-1，1]．
f（-x）=

-2x

x2+1

=-f(x)，即函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=

2-2x2

(x2+1)2

，
由f′（x）＞0解得 2-2x²＞0，即x²＜1，解得-1＜x＜1，此時函數(shù)單調(diào)遞增．
由f′（x）＜0解得 2-2x²＜0，即x²＞1，解得x＞1或x＜-1，此時函數(shù)單調(diào)遞減．

點評：本題主要考查分式函數(shù)的性質(zhì)，要求熟練掌握分式函數(shù)定義域，值域，單調(diào)性的求法．