Question

自A（4，0）引圓x²+y²=4的割線ABC，求弦BC中點(diǎn)P的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：綜合題,直線與圓

分析：先設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)（x，y），然后由圓的幾何性質(zhì)知OP⊥BC，再利用k_OP•k_AP=-1，求出P（x，y）滿足的方程．也可由圓的幾何性質(zhì)直接得出動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)M（2，0）的距離恒等于定長(zhǎng)2，然后由圓的定義直接寫出P點(diǎn)的軌跡方程．

解答： 解：方法一 （直接法）
設(shè)P（x，y），連接OP，則OP⊥BC，…（2分）
①當(dāng)x≠0時(shí)，k_OP•k_AP=-1，即

y

x

•

y

x-4

=-1，即x²+y²-4x=0．（★）…（8分）
②當(dāng)x=0時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)（0，0）是方程（★）的解，…（12分）
∴BC中點(diǎn)P的軌跡方程為x²+y²-4x=0（在已知圓內(nèi)的部分）．…（14分）
方法二 （定義法）
由方法一知OP⊥AP，取OA中點(diǎn)M，則M（2，0），|PM|=

1

2

|OA|=2，
由圓的定義知，∴P的軌跡方程為x²+y²-4x=0（在已知圓內(nèi)的部分）．

點(diǎn)評(píng)：針對(duì)這個(gè)類型的題目，常用的方法有：（1）待定系數(shù)法；（2）代入法；（3）直接法；（4）定義法．其中直接法是求曲線方程最重要的方法，它可分五個(gè)步驟：①建系，②找出動(dòng)點(diǎn)M滿足的條件，③用坐標(biāo)表示此條件，④化簡(jiǎn)，⑤驗(yàn)證；定義法是指動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種曲線的定義，然后據(jù)定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；代入法，它用于處理一個(gè)主動(dòng)點(diǎn)與一個(gè)被動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，只需找出這兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，然后代入主動(dòng)點(diǎn)滿足的軌跡方程即可．