Question

20．{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，則$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{4}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{n}{2n+1}$．

Answer 1

分析 通過(guò)數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1、公差為2的等差數(shù)列可知a_n=2n-1，裂項(xiàng)可知$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），并項(xiàng)相加、計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{3}{a}_{4}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{n}{2n+1}$，
故答案為：$\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的求和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．