Question

9．設函數(shù)f（x）=clnx+$\frac{1}{2}$x²+bx（b，c∈R，c≠0）且x=1為f（x）的極值點．
（1）若在曲線以g（c）=f（x）-$\frac{1}{2}$x²上點（1，g（1））處的切線過點（2，0），求b，c的值；
（2）若f（x）=0恰有兩解，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)g′（1），g（1），得到關(guān)于b，c的方程組，求出b，c的值即可；
（2）通過討論c的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極大值和極小值，從而求出c的范圍即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{{x}^{2}+bx+c}{x}$，又f′（1）=0，即b+c+1=0，
∴f′（x）=$\frac{（x-1）（x-c）}{x}$，且c≠1，
（1）∵g（x）=clnx+bx，∴g′（x）=$\frac{c}{x}$+b，則g′（1）=b+c，
∵g（1）=b，∴$\frac{1-2}$=b+c，
又b+c+1=0，
∴b=1，c=-2；
（2）①若c＜0，則f（x）在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，
f（x）=0恰有兩個解，則f（1）＜0，即$\frac{1}{2}$+b＜0，∴-$\frac{1}{2}$＜c＜0，
②若0＜c＜1，則f（x）_極大值=f（c）=clnc+$\frac{1}{2}$c²+bc，f（x）_極小值=f（1）=$\frac{1}{2}$+b，
∵b=-1-c，則則f（x）_極大值=clnc+$\frac{1}{2}$c²+c（-1-c）=clnc-c-$\frac{{c}^{2}}{2}$＜0，
f（x）_極小值=-$\frac{1}{2}$-c，從而f（x）=0只有一解，
③若c＞1，則，f（x）_極小值=clnc+$\frac{1}{2}$c²+c（-1-c）=clnc-c-$\frac{{c}^{2}}{2}$＜0，
f（x）_極大值=-$\frac{1}{2}$-c，從而f（x）=0只有一解，
綜上，使得f（x）=0恰有2個解的c的范圍是（-$\frac{1}{2}$，0）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導數(shù)的應用以及曲線的切線方程問題，是一道中檔題．