Question

4．在平面幾何中，研究正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)與三邊的關(guān)系時，我們有真命題：邊長為a的正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊的距離之和是定值$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．
（1）試證明上述命題；
（2）類比上述命題，請寫出關(guān)于正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)與四個面的關(guān)系的一個真命題，并給出簡要的證明．

Answer 1

分析 （1）利用等面積進(jìn)行證明即可．
（2）由棱長為a可以得到BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，BO=AO=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a-OE，在直角三角形中，根據(jù)勾股定理可以得到BO²=BE²+OE²，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊的距離分別為m，n，p，則
由等面積可得$\frac{1}{2}•a•\frac{\sqrt{3}}{2}a$=$\frac{1}{2}•a•（m+n+p）$，
∴m+n+p=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
即邊長為a的正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊的距離之和是定值$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．
（2）類比邊長為a的正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到各邊的距離之和是定值$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
在一個正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到各個面的距離之和是定值$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，
如圖：
由棱長為a可以得到BF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，BO=AO=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a-OE，
在直角三角形中，根據(jù)勾股定理可以得到BO²=BE²+OE²，
把數(shù)據(jù)代入得到OE=$\frac{\sqrt{6}}{12}$a，
∴棱長為a的三棱錐內(nèi)任一點(diǎn)到各個面的距離之和4×$\frac{\sqrt{6}}{12}$a=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a．

點(diǎn)評 本題是基礎(chǔ)題，考查類比推理及正四面體的體積的計(jì)算，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查空間想象能力，計(jì)算能力．