【題目】已知點(diǎn)P(x,y)是曲線C上任意一點(diǎn),點(diǎn)(x,2y)在圓x2+y2=8上,定點(diǎn)M(2,1),平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m≠0),直線l與曲線C交于A、B兩個不同點(diǎn).
(1)求曲線C的方程;
(2)求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.
【答案】
(1)解:在曲線C上任取一個動點(diǎn)P(x,y),
則點(diǎn)(x,2y)在圓x2+y2=8上.
所以有x2+(2y)2=8.
整理得曲線C的方程為
(2)解:∵直線l平行于OM,且在y軸上的截距為m,又KOM= ,
∴直線l的方程為y= x+m.
由 ,
∴x2+2mx+2m2﹣4=0,∵直線l與橢圓交于A、B兩個不同點(diǎn),∴△=(2m)2﹣4(2m2﹣4)>0,
解得﹣2<m<2且m≠0.∴m的取值范圍是﹣2<m<0或0<m<2.
設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1,k2,A(x1,y1),B(x2,y2),
則k1= ,k2= ,
由x2+2mx+2m2﹣4=0可得x1+x2=﹣2m,x1x2=2m2﹣4.
k1+k2= ++
=
=
= =0.
k1+k2=0.
故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形
【解析】(1)先設(shè)曲線C上任取一個動點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y),然后根據(jù)題意(x,2y)在圓x2+y2=8上,整理即可解出曲線C的方程.(2)設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k1,k2,只需證明k1+k2=0即可.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解直線與圓的三種位置關(guān)系(直線與圓有三種位置關(guān)系:無公共點(diǎn)為相離;有兩個公共點(diǎn)為相交,這條直線叫做圓的割線;圓與直線有唯一公共點(diǎn)為相切,這條直線叫做圓的切線,這個唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,若將f(x)的圖象向左平移 個單位后所得函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,則φ=( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=2xlnx﹣x2+2ax,其中a>0.
(1)設(shè)g(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),求函數(shù)g(x)的極值;
(2)是否存在常數(shù)a,使得x∈[1,+∞)時,f(x)≤0恒成立,且f(x)=0有唯一解,若存在,求出a的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩袋中各裝有大小相同的小球9個,其中甲袋中紅色、黑色、白色小球的個數(shù)分別為2、3、4,乙袋中紅色、黑色、白色小球的個數(shù)均為3,某人用左手從甲袋中取球,用右手從乙袋中取球,
(1)若左右手各取一球,求兩只手中所取的球顏色不同的概率;
(2)若一次在同一袋中取出兩球,如果兩球顏色相同則稱這次取球獲得成功.某人第一次左手先取兩球,第二次右手再取兩球,記兩次取球的獲得成功的次數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)的定義在(0,3)上的函數(shù),f(x)的圖象如圖所示,那么不等式f(x)cosx<0的解集是( )
A.(0,1)∪(2,3)
B.
C.
D.(0,1)∪(1,3)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某汽車的使用年數(shù)x與所支出的維修費(fèi)用y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表:
使用年數(shù)x(單位:年) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
維修總費(fèi)用y(單位:萬元) | 0.5 | 1.2 | 2.2 | 3.3 | 4.5 |
根據(jù)上表可得y關(guān)于x的線性回歸方程 = x﹣0.69,若該汽車維修總費(fèi)用超過10萬元就不再維修,直接報(bào)廢,據(jù)此模型預(yù)測該汽車最多可使用( )
A.8年
B.9年
C.10年
D.11年
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中.圓C的參數(shù)方程為 (α為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,點(diǎn)D的極坐標(biāo)為(ρ1 , π).
(1)求圓C的極坐標(biāo)方程;
(2)過點(diǎn)D作圓C的切線,切點(diǎn)分別為A,B,且∠ADB=60°,求ρ1 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1所有的棱長均為2,A1B= ,A1B⊥AC.
(Ⅰ)求證:A1C1⊥B1C;
(Ⅱ)求直線AC和平面ABB1A1所成角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= sin(ωx+φ)(ω>0,﹣ <φ< ),A( ,0)為f(x)圖象的對稱中心,B,C是該圖象上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn),若BC=4,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A.(2k﹣ ,2k+ ),k∈Z
B.(2kπ﹣ π,2kπ+ π),k∈Z
C.(4k﹣ ,4k+ ),k∈Z
D.(4kπ﹣ π,4kπ+ π),k∈Z
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