Question

已知a、b、c、d為非負(fù)實(shí)數(shù)，f（x）=

ax+b

cx+d

（x∈R），且f（19）=19，f（97）=97，若x≠-

d

c

，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x均有f（f（x））=x成立，試求出f（x）值域外的唯一數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值

專題：計(jì)算題

分析：由題意先化簡(jiǎn)f（f（x））=x得：（a+d）cx²+（d²-a²）x-b（a+d）=0，由恒成立可得a+d=0，且d²-a²=0，即d=-a，再把f（19）=19，f（97）=97代入化簡(jiǎn)求出a、b、c、d的關(guān)系，從而求出f（x）的解析式，利用分裂常數(shù)法化簡(jiǎn)解析式后，即可得到答案．

解答： 解：由題設(shè)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x≠-

d

c

有f（f（x））=x，即

a• ax+b cx+d +b

c• ax+b cx+d +d

=x，
化簡(jiǎn)，得（a+d）cx²+（d²-a²）x-b（a+d）=0，
由于上述方程對(duì)x≠-

d

c

恒成立，故a+d=0，且d²-a²=0，所以d=-a．…（10分）
又f（19）=19，f（97）=97，即19、97是方程

ax+b

cx+d

=x的兩個(gè)根，
即方程是cx²+（d-a）x-b=0的兩個(gè)根，
故由韋達(dá)定理，得

a-d

c

=116，-

d

c

=-1843，
結(jié)合d=-a，得a=58c，b=-1843c，d=-58c，
所以f(x)=

58x-1843

x-58

=58+

1521

x-58

．
于是f（x）取不到58這個(gè)數(shù)，即58是f（x）值域外的唯一的數(shù)．…（20分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，函數(shù)恒成立問(wèn)題，以及分裂常數(shù)法化簡(jiǎn)解析式，考查化簡(jiǎn)計(jì)算能力和邏輯思維能力，屬于難題．