Question

17．已知a，b∈R₊，a+b=1，x₁，x₂∈R₊，求證：（ax₁+bx₂）（bx₁+ax₂）≥x₁x₂．

Answer 1

分析 通過(guò)乘積展開(kāi)，利用基本不等式變形、整理即得結(jié)論．

解答 證明：依題意，（ax₁+bx₂）（bx₁+ax₂）
=（ax₁+bx₂）（ax₂+bx₁）
=（a²+b²）x₁x₂+ab（${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$）
≥（a²+b²）x₁x₂+2abx₁x₂
=$（a\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}+b\sqrt{{x}_{1}{x}_{2}}）^{2}$
=（a+b）²x₁x₂
=x₁x₂．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題．