Question

17．已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx+1（a∈R），g（x）=xcosx-$\frac{1}{2}{x^3}$+1；
（Ⅰ） 當(dāng)a=-1時，設(shè)L為曲線y=g（x）在x=0處的切線，判斷L是否為曲線y=f（x）的切線？并說明理由；
（Ⅱ）若x≥1，總有f（x）≥g（x），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點，可得切線方程，假設(shè)該切線也為f（x）的切線，設(shè)出切點，求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，由斜率求得切點，驗證是否滿足切線l即可；
（Ⅱ）f（x）≥g（x），即為a≥cosx-$\frac{1}{2}$x²-lnx對x≥1恒成立．構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)，運用正弦函數(shù)的值域和基本不等式可得單調(diào)性，可得函數(shù)的最大值，令a不小于最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）g（x）=xcosx-$\frac{1}{2}{x^3}$+1的導(dǎo)數(shù)為g′（x）=cosx-xsinx-$\frac{3}{2}$x²，
曲線y=g（x）在x=0處的切線斜率為1，切點為（0，1），
即有切線l的方程為y=x+1，
若L為曲線y=f（x）的切線，設(shè)切點為（m，n），
f′（x）=lnx，即有l(wèi)nm=1，解得m=e，
切點為（e，1），不滿足切線l的方程．
則L不為曲線y=f（x）的切線；
（Ⅱ）f（x）≥g（x），即為
ax+xlnx+1≥xcosx-$\frac{1}{2}{x^3}$+1，
即為a≥cosx-$\frac{1}{2}$x²-lnx對x≥1恒成立．
設(shè)h（x）=cosx-$\frac{1}{2}$x²-lnx，x≥1，
則h′（x）=-sinx-（x+$\frac{1}{x}$），
由-1≤-sinx≤1，x+$\frac{1}{x}$≥2，
-（x+$\frac{1}{x}$）≤-2，
可得-sinx-（x+$\frac{1}{x}$）＜0，
即有h′（x）＜0對x≥1恒成立，
即h（x）在x≥1遞減．
即有x=1處取得最大值，且為cos1-$\frac{1}{2}$，
則a≥cos1-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、最值，考查函數(shù)的單調(diào)性的運用，同時考查化簡運算能力，屬于中檔題．