Question

設a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=

1

3

x3-

1

2

x2-2x+a．
（Ⅰ）求f（x）的極值；
（Ⅱ） 若方程f（x）=0僅有一個實數(shù)解，試求a的范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（I）令f'（x）=x²-x-2=0，得x=-1或x=2，分析f'（x），f（x）的變化情況，從而求極值；
（II）由方程f（x）=0僅有一個實數(shù)解，只需使f（x）的極大值＜0，或f（x）的極小值＞0，從而解得．

解答： 解：（I） 由f'（x）=x²-x-2=0，得x=-1或x=2．
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

	（-∞，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，+∞）
	+	0	-	0	+
		極大值		極小值

∴f（x）的極大值是f(-1)=

7

6

+a，
極小值是f(2)=a-

10

3

．
（II） 由（I） 知要使方程f（x）=0僅有一個實數(shù)解，
只須f（x）的極大值

7

6

+a＜0，或f（x）的極小值a-

10

3

＞0，
即a＜-

7

6

或a＞

10

3

．

點評：本題考查了函數(shù)的導數(shù)的應用即方程與函數(shù)的關系，屬于中檔題．