Question

13．已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M在邊AD上，且AM=DM．CM、BA的延長線相交于點(diǎn)E．求證：
（1）AE=AB；
（2）如果BM平分∠ABC，求證：BM⊥CE．

Answer 1

分析 （1）通過證明△AEM≌△DCM（AAS），然后推出AE=AB．
（2）說明∠ABM=∠CBM，推出∠CBM=∠AMB，得到∠ABM=∠AMB，然后證明∠EMB=90°，即可證明BM⊥CE．

解答 （本小題滿分8分）
證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠E=∠DCM，
在△AEM和△DCM中，$\left\{\begin{array}{l}∠E=∠DCM\\∠AME=∠DMC\\ AM=DM\end{array}\right.$，∴△AEM≌△DCM（AAS），
∴AE=CD，∴AE=AB；--------------------------（4分）
（2）∵BM平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBM，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠CBM=∠AMB，
∴∠ABM=∠AMB，∴AB=AM，∠ABM=∠AMB，
∵AB=AE，∴∠AME=∠E，∴2∠AME+2∠AMB=180°
∴∠EMB=90°，即BM⊥CE．---------------------------------（8分）

點(diǎn)評 本題考查三角形全等，證明直線與直線的垂直，考查推理與證明的能力．