Question

設(shè)函數(shù)f（x）在定義域D上滿足f（

1

2

）=-1，f（x）≠0，且當(dāng)x，y∈D時(shí)，f（x）+f（y）=f（

x+y

1+xy

）．若數(shù)列{x_n}中，x1=

1

2

，xn+1=

2xn

1+ x 2 n

（x_n∈D，n∈N^×）．則數(shù)列{f（x_n）}的通項(xiàng)公式為（　　）

• A、f（x_n）=2^n-1
• B、f（x_n）=-2^n-1
• C、f（x_n）=-3ⁿ⁺¹
• D、f（x_n）=3ⁿ

Answer 1

分析：由所給的函數(shù)關(guān)系式知f(xn) +f(xn) =f(

2xn

1+xn2

)，而數(shù)列之間又具備一個(gè)遞推式，把遞推式代入函數(shù)式得2f（x_n）=f（x_n+1），所以數(shù)列{f（x_n）}是一個(gè)首項(xiàng)為-1，公比是2的等比數(shù)列，得到結(jié)果．

解答：解：∵f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，
∴f(xn) +f(xn) =f(

2xn

1+xn2

)，
∵xn+1=

2xn

1+xn2

，
∴2f（x_n）=f（x_n+1），
∴數(shù)列{f（x_n）}是首項(xiàng)為-1，公比是2的等比數(shù)列，
∴f（x_n）=-2^n-1，
故選B

點(diǎn)評(píng)：數(shù)列可看作一個(gè)定義域是正整數(shù)集或它的有限子集的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值，所以數(shù)列通常與函數(shù)知識(shí)結(jié)合起來(lái)，這種題目可以提高學(xué)生用函數(shù)的思想、方程的思想研究數(shù)列問(wèn)題的自覺(jué)性、培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索的精神和科學(xué)理性的思維方法．