己知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an+12+an+1an-2an2=0(n∈N*),且a3+2是a2,a4的等差中項.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式an;
(2)若bn=anlog
12
an,Sn=b1+b2+…+bn,求Sn+n•2n+1>50成立的正整數(shù)n的最小值.
分析:(Ⅰ)根據(jù)數(shù)列是一個各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an+12-an+1an-2an2=0,把這個式子分解,變?yōu)閮蓚因式乘積的形式,(an+1+an)(an+1-2an)=0,注意數(shù)列是一個正項數(shù)列,得到an+1-2an=0,得到數(shù)列是一個等比數(shù)列,寫出通項.
(Ⅱ)本題構(gòu)造了一個新數(shù)列,要求新數(shù)列的和,注意觀察數(shù)列是有一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列乘積組成,需要用錯位相減來求和,兩邊同乘以2,得到結(jié)果后觀察Sn+n•2n+1>50成立的正整數(shù)n的最小值.
解答:解:(Ⅰ)∵an+12-an+1an-2an2=0,∴(an+1+an)(an+1-2an)=0,
∵數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),
∴an+1+an>0,
∴an+1-2an=0,
即an+1=2an,所以數(shù)列{an}是以2為公比的等比數(shù)列.
∵a3+2是a2,a4的等差中項,
∴a2+a4=2a3+4,
∴2a1+8a1=8a1+4,
∴a1=2,
∴數(shù)列{an}的通項公式an=2n
(Ⅱ)由(Ⅰ)及bn=anlog
1
2
an
得,bn=-n•2n,
∵Sn=b1+b2++bn,
∴Sn=-2-2•22-3•23-4•24--n•2n
∴2Sn=-22-2•23-3•24-4•25--(n-1)•2n-n•2n+1
①-②得,Sn=2+22+23+24+25++2n-n•2n+1
=
2(1-2n)
1-2
-n•2n+1=(1-n)•2n+1-2

要使Sn+n•2n+1>50成立,只需2n+1-2>50成立,即2n+1>52,
∴使Sn+n•2n+1>50成立的正整數(shù)n的最小值為5.
點評:數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),所以在高考中占有重要的地位.高考對本章的考查比較全面,等差數(shù)列,等比數(shù)列的考查每年都不會遺漏.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,an=2
Sn
-1(n∈N*).
(1)求an的通項公式;
(2)設(shè)Tn=
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
,Pn=
1
S1S2
+
1
S2S3
+…+
1
SnSn_+1
,求2Tn-Pn,并確定最小的正整數(shù)n,使2Tn-Pn
13
5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn、an、
1
2
成等差數(shù)列.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)若
a
2
n
=2-bn
,設(shè)Cn=
bn
an
,求數(shù)列{Cn}的前項和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足2a2n+1+3an+1an-2a2n=0(n∈N*+)且a3+
1
32
是a2,a4的等差中項,數(shù)列{bn}的前n項和Sn=n2
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式;
(2)若Tn=
1
b1b2
+
1
b2b3
+…+
1
bnbn+1
,求證:Tn
1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和滿足Sn>1,且6Sn=(an+1)(an+2),n∈N*,
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=
1anan+1
,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn

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