Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=2a_n（n∈N^*），且a₂，a₄的等差中項為10．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=2log₂a_n，求

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)數(shù)列的條件，可得數(shù)列是等比數(shù)列，利用的等比數(shù)列的通項公式即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求出b_n=2log₂a_n，利用裂項法即可

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

取值范圍．

解答： 解：（1）由a_n+1=2a_n（n∈N^*），得{a_n}為等比數(shù)列且公比q=2，
設(shè)首項為a₁，
∵a₂，a₄的等差中項為10，
∴a₂+a₄=2×10=20．
即a₁q+a₁q³=20，解得a₁=2，
故a_n=2ⁿ．
（2）由b_n=2log₂a_n=2n，
得到：

1

bnbn+1

=

1

2n•2(n+1)

=

1

4

（

1

n

-

1

n+1

），
∴

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

+…+

1

bnbn+1

=

1

4

[（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）]=

1

4

（1-

1

n+1

）∈[

1

8

，

1

4

）．

點評：本題主要考查等比數(shù)列的通項公式，以及數(shù)列求和，利用裂項法是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．