Question

設函數f（x）=|lg（x+1）|，滿足f（a）=f（-

b+1

b+2

），f[10（a+1）+6（b+2）-1]=4lg2，其中a，b∈R，且a＜b，則a+b的值為（　�。�

• A、0
• B、

  1

  15

• C、-

  11

  15

• D、-1

Answer 1

考點：對數的運算性質

專題：轉化思想,函數的性質及應用

分析：由f（a）=f（-

b+1

b+2

），代入函數解析式得到a、b的關系，化簡f[10（a+1）+6（b+2）-1]=4lg2，求出一個字母的值，從而求出另一個字母的值．

解答： 解：∵f（x）=|lg（x+1）|，且f（a）=f（-

b+1

b+2

），
∴|lg（a+1）|=|lg（-

b+1

b+2

+1）|=|lg

1

b+2

|=|lg（b+2）|，
∴a+1=b+2，或（a+1）（b+2）=1；
又∵a＜b，∴a+1≠b+2，
∴（a+1）（b+2）=1；
又∵f（a）=|lg（a+1）|有意義，
∴a+1＞0，從而0＜a+1＜b+1＜b+2，
∴0＜a+1＜1＜b+2；
∴10（a+1）+6（b+2）-1=

10

b+2

+6（b+2）-1≥2

10 b+2 •6(b+2)

-1=2

60

-1＞1；
∴f[10（a+1）+6（b+2）-1]=lg[10（a+1）+6（b+2）]=4lg2，
即lg[

10

b+2

+6（b+2）]=lg2⁴，
∴

10

b+2

+6（b+2）=16；
解得b+2=

5

3

，或b+2=1（舍去），
∴b=-

1

3

；
又a+1=

1

b+2

=

3

5

，
∴a=-

2

5

，
∴a+b=-

11

15

．
故選：C．

點評：本題考查了對數的運算性質的問題以及數學替換思想，解題的關鍵是根據題意找出a和b的關系，把一個字母用另一個字母代替，是易錯題．