Question

已知實數(shù)a＞0，且2a，1，a²+3按某種順序排列成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求實數(shù)a的值；
（Ⅱ）若等差數(shù)列{a_n}的首項和公差都為a，等比數(shù)列{b_n}的首項和公比都為a，數(shù)列{a_n}和{b_n}的前n項和分別為S_n，T_n，且

Tn+2

2n

＞S_n-238，求滿足條件的自然數(shù)n的最大值．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質(zhì),等差數(shù)列的前n項和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）分類討論，三項分別為等差中項，解方程可得；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a_n和b_n，進而可得S_n和T_n，代入已知可得n的不等式，解不等式結(jié)合n為自然數(shù)可得．

解答： 解（Ⅰ）①若2a為等差中項，則有4a=a²+4解得a=2，符合題意；
②若1為等差中項，則有2=2a+a²+3解得a=-1，不符合題意，（舍去）；
③若a²+3為等差中項，則有2（a²+3）=2a+1，即2a²-2a+5=0，△＜0方程無解；
綜上可得a=2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2+2（n-1）=2n，b_n=2ⁿ，
∴S_n=

n(2+2n)

2

=n²+n，T_n=

2(1-2n)

1-2

=2ⁿ⁺¹-2，
由已知

Tn+2

2n

＞S_n-238可得2＞n²+n-238，即n（n+1）＜240，
即-16＜n＜15，又n為正整數(shù)，n的最大值為14．

點評：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力和應(yīng)用意識，考查分類整合的思想，屬中檔題．