Question

△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊a，b，c且ccosB與bcosC的等差中項(xiàng)為2acosA．
（1）求cosA的值；
（2）若△ABC的面積是

15

，求

AB

•

AC

的值．

Answer 1

分析：（1）由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，由ccosB與bcosC的等差中項(xiàng)為2acosA，知sinCcosB+sinBcosC=4sinAcosA，由此能求出cosA．
（2）由cosA=

1

4

，A是三角形內(nèi)角，知sinA=

1-( 1 4 )2

=

15

4

，由△ABC的面積是

15

，知bc=8，由此能求出

AB

•

AC

．

解答：解：（1）∵△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊a，b，c，
∴由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，
∵ccosB與bcosC的等差中項(xiàng)為2acosA，
∴sinCcosB+sinBcosC=4sinAcosA，
sin（B+C）=4sinAcosA，
∴sinA=4cosAsinA，
∴cosA=

1

4

．
（2）∵cosA=

1

4

，A是三角形內(nèi)角，
∴sinA=

1-( 1 4 )2

=

15

4

，
∵△ABC的面積是

15

，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

15

8

bc=

15

，
∴bc=8，
∴

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|cosA=8×

1

4

=2．

點(diǎn)評：本題考查三角形內(nèi)角余弦值的計(jì)算，考查向量的數(shù)量積的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意等差中項(xiàng)、三角函數(shù)恒等變換的合理運(yùn)用．