Question

14．已知函數(shù)f（x）=x²+2x+alnx，若f（x）在區(qū)間（0，1）上有極值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-4，0）．

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）=x²+2x+alnx在區(qū)間（0，1）內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)的a的范圍，從而求出函數(shù)有極值的范圍即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=x²+2x+alnx在區(qū)間（0，1）內(nèi)無(wú)極值
?函數(shù)f（x）=x²+2x+alnx在區(qū)間（0，1）內(nèi)單調(diào)，
?函數(shù)f′（x）≥0或f′（x）≤0a∈R）在（0，1）內(nèi)恒成立，
由f′（x）=2x+2+$\frac{a}{x}$≥0在（0，1）內(nèi)恒成立，
?a≥（-2x-2x²）_max，x∈（0，1），即a≥0，
由f′（x）=2x+2+$\frac{a}{x}$≤0在（0，1）內(nèi)恒成立，
?a≤（-2x-2x²）_min，x∈（0，1），即a≤-4，
故f（x）在區(qū)間（0，1）上有極值，
則-4＜a＜0，
故答案為：（-4，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、分離參數(shù)法、函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力．