【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x2+2ax﹣a﹣1,x∈[0,2],a為常數(shù).
(1)用g(x)表示f(x)的最小值,求g(a)的解析式;
(2)在(1)中,是否存在最小的整數(shù)m,使得g(a)﹣m≤0對(duì)于任意a∈R均成立,若存在,求出m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)解:對(duì)稱(chēng)軸 x=﹣a,

①當(dāng)﹣a<0即a>0 時(shí),函數(shù)f(x)=x2+2ax﹣a﹣1,x∈[0,2]上是增函數(shù),

當(dāng)x=0 時(shí)有最小值 f(0)=﹣a﹣1

②當(dāng)﹣a≥2即a≤﹣2 時(shí),函數(shù)f(x)=x2+2ax﹣a﹣1,x∈[0,2]上是減函數(shù),

x=2時(shí)有最小值,f(2)=3a+3

③當(dāng)0<﹣a<2即﹣2<a<0 時(shí),函數(shù)f(x)=x2+2ax﹣a﹣1,x∈[0,2]上是不單調(diào),

x=﹣a時(shí)有最小值 f(﹣a)=﹣a2﹣a﹣1

∴g(a)=


(2)解:存在,由題知g(a)在(﹣∞, )是增函數(shù),在[ ,+∞)是減函數(shù)

a= 時(shí),g(a)max=﹣

g(a)﹣m≤0恒成立,可得g(a)max≤m,∴

∵m為整數(shù),∴m的最小值為0


【解析】(1)先根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求得g(a)的解析式;(2)根據(jù)(1)中g(shù)(a)的解析式判斷其單調(diào)區(qū)間,再求得g(a)的最大值,由g(a)﹣m≤0恒成立,可得g(a)max≤m即可求得整數(shù)m的最小值.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解二次函數(shù)的性質(zhì)(增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱(chēng)軸左邊,y隨x增大而減;對(duì)稱(chēng)軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱(chēng)軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱(chēng)軸右邊,y隨x增大而減小).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知過(guò)點(diǎn)A(﹣4,0)的動(dòng)直線l與拋物線C:x2=2py(p>0)相交于B、C兩點(diǎn).
(1)當(dāng)l的斜率是時(shí), ,求拋物線C的方程;
(2)設(shè)BC的中垂線在y軸上的截距為b,求b的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , a1=1,an≠0,anan+1=4Sn﹣1.
(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)證明: + +…+ <2.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】(理科)已知函數(shù)f(x)=4x3+3tx2﹣6t2x+t﹣1,x∈R,t∈R.
(1)當(dāng)t≠0時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)證明:對(duì)任意t∈(0,+∞),f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)均存在零點(diǎn).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知定義域?yàn)?/span>的奇函數(shù).

1)求的值;

(2)用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)上是增函數(shù).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx﹣ax2+(2a﹣1)x,a∈R.
(1)令g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),求g(x)單調(diào)區(qū)間;
(2)已知函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值,求實(shí)數(shù)a取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知命題:
①α>β的充分不必要條件是sinα>sinβ
②若a,b∈R,ab<0,則
③命題“若x+y≠5,則x≠2或y≠3”的否命題為假命題
④若a≠b,則a3+b3>a2b+ab2
其中真命題的序號(hào)是 . (請(qǐng)把所有真命題的序號(hào)都填上)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)a為實(shí)數(shù),函數(shù),xR

(I)當(dāng)a=0時(shí),求f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值和最小值;

(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的最小值

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓M:(x+1)2+y2= 的圓心為M,圓N:(x﹣1)2+y2= 的圓心為N,一動(dòng)圓與圓M內(nèi)切,與圓N外切.
(Ⅰ)求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)(1,0)的直線l與曲線P交于A,B兩點(diǎn),若 =﹣2,求直線l的方程.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案