Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓M：（x+1）2+y2= 的圓心為M，圓N：（x﹣1）2+y2= 的圓心為N，一動(dòng)圓與圓M內(nèi)切，與圓N外切．
（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心P的軌跡方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)（1，0）的直線l與曲線P交于A，B兩點(diǎn)，若 =﹣2，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)圓P的半徑為r，則|PM|= ﹣r，|PN|=r+ ．

兩式相加，得|PM|+PN|=4＞|MN|，

由橢圓定義知，點(diǎn)P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，焦距為2，實(shí)軸長(zhǎng)為4的橢圓，其方程為 ．

（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=1，則 ， ， ．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x﹣1），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立 消去y，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，則有 ， ， = = ．

由已知，得 ，解得 ．

故直線l的方程為

【解析】（Ⅰ）根據(jù)兩圓內(nèi)外切的性質(zhì)可得出|PM|+PN|=4＞|MN|，即為橢圓由已知可求出方程。（Ⅱ）分情況討論直線斜率存在和不存在，當(dāng)斜率不存在時(shí)不成立；而當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程和橢圓聯(lián)立，消去y 由韋達(dá)定理求出 x 1 + x 2、 x1x2 的值，代入到向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算公式即可求出 k的值進(jìn)而得出直線方程。
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解橢圓的概念(平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡稱為橢圓,這兩個(gè)定點(diǎn)稱為橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為橢圓的焦距)．