Question

【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， a1=1，an≠0，anan+1=4Sn﹣1．
（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明： + +…+ ＜2．

Answer 1

【答案】（I）解：由題設(shè)，anan+1=4Sn﹣1，得an+1an+2=4Sn+1﹣1．

兩式相減得an+1（an+2﹣a）=4an+1．

由于an+1≠0，∴an+2﹣an=4．

由題設(shè)，a1=1，a1a2=4S1﹣1，可得a2=3．

故可得{a2n﹣1}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n﹣1=4n﹣3=2（2n﹣1）﹣1；

{a2n}是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n=4n﹣1=22n﹣1．

∴ ；

（Ⅱ）證明： ，

當(dāng)n＞1時(shí)，由 ，得

，

∴

【解析】（Ⅰ）化簡anan+1=4Sn﹣1求得數(shù)列{an}的特點(diǎn)，進(jìn)而求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）求得數(shù)列的前n項(xiàng)和，代入后求得所給不等式成立.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．