Question

7．已知雙曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，其左、右焦點(diǎn)分別是F₁、F₂，已知點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，1），雙曲線C上點(diǎn)P（x₀，y₀ ） （x₀＞0，y₀＞0）滿足$\frac{\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{1}}}{P{F}_{1}}$=$\frac{{\overrightarrow{{F_2F}_1}•\overrightarrow{{MF}_1}}}{{{F_2F}_1}}$，則S${\;}_{△PM{F}_{1}}$-S${\;}_{△PM{F}_{2}}$=（　�。�

• A． -1
• B． 1
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 利用 $\frac{\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{1}}}{P{F}_{1}}$=$\frac{{\overrightarrow{{F_2F}_1}•\overrightarrow{{MF}_1}}}{{{F_2F}_1}}$，得出∠MF₁P=∠MF₁F₂，進(jìn)而求出直線PF₁的方程為y=$\frac{5}{12}$（x+3），與雙曲線聯(lián)立可得P（3，$\frac{5}{2}$），由此即可求出S${\;}_{△PM{F}_{1}}$-S${\;}_{△PM{F}_{2}}$的值．

解答 解：∵$\frac{\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{M{F}_{1}}}{P{F}_{1}}$=$\frac{{\overrightarrow{{F_2F}_1}•\overrightarrow{{MF}_1}}}{{{F_2F}_1}}$，∴|MF₁|•cos∠MF₁P=|MF₁|•cos∠MF₁F₂，∴∠MF₁P=∠MF₁F₂．
∵F₁ （-3，0）、F₂（3，0），點(diǎn)M（2，1），∴|MF₁|=$\sqrt{26}$，|MF₂|=$\sqrt{2}$，|F₁F₂|=2c=6，
故由余弦定理可得 cos∠MF₁F₂=$\frac{{{MF}_{1}}^{2}{{{+F}_{1}F}_{2}}^{2}-{{MF}_{2}}^{2}}{2|{MF}_{1}|•{{|F}_{1}F}_{2}|}$=$\frac{5}{\sqrt{26}}$，∴cos∠PF₁F₂=2cos²∠MF₁F₂-1=$\frac{12}{13}$，
∴sin∠PF₁F₂=$\sqrt{{1-cos}^{2}∠PF1F2}$=$\frac{5}{12}$，∴tan∠PF₁F₂=$\frac{sin∠PF1F2}{cos∠PF1F2}$=$\frac{5}{12}$，
∴直線PF₁的方程為y=$\frac{5}{12}$（x+3）．
把它與雙曲線聯(lián)立可得P（3，$\frac{5}{2}$），∴|PF₁|=$\frac{13}{2}$，
∴sin∠MF₁F₂=$\frac{1}{\sqrt{26}}$，∴S△PMF1=$\frac{1}{2}•\frac{13}{2}•\sqrt{26}•\frac{1}{\sqrt{26}}$=$\frac{13}{4}$，
∵S${\;}_{△PM{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}•\frac{5}{2}•1$=$\frac{5}{4}$，
∴S${\;}_{△PM{F}_{1}}$-S${\;}_{△PM{F}_{2}}$=$\frac{13}{4}$-$\frac{5}{4}$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．