Question

6．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分別是PA、BC的中點(diǎn)
（1）求證：平面PAC⊥平面PBD
（2）求證：MN∥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）由已知中底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，結(jié)合正方形的性質(zhì)及線面垂直的性質(zhì)，可得AC⊥BD，PD⊥AC，由線面垂直的判定定理得AC⊥平面PBD，再由面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面PBD；
（2）取AD中點(diǎn)E，連接ME，NE，結(jié)合已知條件，由三角形中位線定理可得ME∥PD，NE∥CD，由面面平行的判定定理易判斷出平面MNE∥平面PCD，再由面面平行的判定定理得到MN∥平面PCD；

解答 證明：（1）∵面ABCD為正方形
∴AC⊥BD                                                （1分）
∵PD⊥面ABCD    AC?面ABCD
∴PD⊥AC                                                （3分）
又PD∩AD=D                                             （4分）
∴AC⊥面PBD                                             （5分）
又AC?面PAC                                            （6分）
∴平面PAC⊥平面PBD                                      （7分）
（2）取PD的中點(diǎn)E，連接ME、CE                              （9分）
∵E、M、N分別為PD、PA、BC的中點(diǎn)
∴ME∥$\frac{1}{2}$AD     CN∥$\frac{1}{2}$AD
∴ME∥CN，
∴四邊形MECN為平行四邊形             （11分）
∴MN∥CE                                               （12分）
有MN?面PCD    CE?面PCD
∴MN∥面PCD                                           （14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面平行的判定，平面與平面垂直的判定，其中（1）的關(guān)鍵是證得AC⊥平面PBD，（2）的關(guān)鍵是得到平面MNE∥平面PCD．