Question

4．設(shè)函數(shù)y=2sin²x+2acosx+2a的最大值是$\frac{1}{2}$．
（1）求a的值；
（2）求y的最小值，并求y最小時(shí)x的值的集合．

Answer 1

分析 （1）令cosx=t，則t∈[-1，1]，換元可得y=-2（t-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{a2}{2}$+2a+2，分類討論由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得；
（2）由（1）知，y=-2（t+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，由二次函數(shù)的最值和余弦函數(shù)可得．

解答 解：（1）令cosx=t，則t∈[-1，1]，
換元可得y=2（1-t²）+2at+2a
=-2（t-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{a2}{2}$+2a+2，
當(dāng)-1＜$\frac{a}{2}$＜1即-2＜a＜2時(shí)，y_max=$\frac{a2}{2}$+2a+2=$\frac{1}{2}$，解得a=-1，a=-3（舍去）；
當(dāng)$\frac{a}{2}$≥1即a≥2時(shí)，y_max=-（1-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{a2}{2}$+2a+2=$\frac{1}{2}$，此方程無解；
當(dāng)$\frac{a}{2}$≤-1即a≤-2時(shí)，y_max=-（-1-$\frac{a}{2}$）²+$\frac{a2}{2}$+2a+2=$\frac{1}{2}$，此方程無解．
綜上可得a的值為：-1．
（2）由（1）知，y=-2（t+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{2}$，
當(dāng)t=1時(shí)，y取最小值-4，
此時(shí)cosx=1，故x的集合：{x|x=2kπ，k∈Z}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的最值，換元并轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)區(qū)間的最值是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．