Question

9．已知函數(shù)f（x）=a1nx+$\frac{{x}^{2}}{2}$-（a+1）x（a∈R），若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，3）上單調(diào)遞減，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，得到x-a＜0在（1，3）恒成立，求出a的范圍即可．

解答 解：f（x）=a1nx+$\frac{{x}^{2}}{2}$-（a+1）x，x＞0，
f′（x）=$\frac{a}{x}$+x-（a+1）=$\frac{（x-1）（x-a）}{x}$，
∵1＜x＜3，
∴$\frac{x-1}{x}$＞0，
若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，3）上單調(diào)遞減，
則x-a≤0在（1，3）恒成立，
故a≥3．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道基礎(chǔ)題．