Question

4．已知直線l的參數(shù)方程是$\left\{{\begin{array}{l}{x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t+4\sqrt{2}}\end{array}}$（t是參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．曲線C的極坐標方程為ρ=4cos（θ+$\frac{π}{4}$）．
（1）判斷直線l與曲線C的位置關(guān)系；
（2）過直線l上的點作曲線C的切線，求切線長的最小值．

Answer 1

分析 （1）分別求出直線和曲線的普通方程，根據(jù)點到直線的距離，求出直線l與曲線C的位置關(guān)系；
（2）根據(jù)點到直線的距離求出直線l上的點向圓C引的切線長的最小值即可．

解答 解：（1）直線l方程：y=x+4$\sqrt{2}$，ρ=4cos（θ+$\frac{π}{4}$）=2$\sqrt{2}$cosθ-2$\sqrt{2}$sinθ，
∴ρ²=2$\sqrt{2}$ρcosθ-2$\sqrt{2}$sinθ，
∴圓C的直角坐標方程為x²+y²-2$\sqrt{2}$x+2$\sqrt{2}$y=0，
即${（x-\sqrt{2}）}^{2}$+${（y+\sqrt{2}）}^{2}$=4，
∴圓心（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）到直線l的距離為d=6＞2，故直線與圓相離．（5分）
（2）直線l的參數(shù)方程化為普通方程為x-y+4$\sqrt{2}$=0，
則圓心C到直線l的距離為$|\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}+4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}|$=6，
∴直線l上的點向圓C引的切線長的最小值為$\sqrt{{6}^{2}{-2}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．（10分）

點評 本題考查了參數(shù)方程、極坐標方程轉(zhuǎn)化為普通方程，考查直線和圓的位置關(guān)系，考查切線問題，是一道中檔題．