Question

15．已知a＞0，函數(shù)f（x）=ln（x-1）-a（x-2），g（x）=e^x+（a²-2）x
（1）求f（x）在區(qū)間[2，3]上的最小值；
（2）設(shè)h（x）=af（x+2）+g（x），當(dāng)x≥0時(shí)，h（x）≥-1恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用f'（x）=0得$x=1+\frac{1}{a}$，判斷函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)（i）當(dāng)a≥1時(shí)，（ii）當(dāng)$0＜a≤\frac{1}{2}$時(shí)，（iii）當(dāng)$\frac{1}{2}＜a＜1$時(shí)，分別求解函數(shù)的最值．
（2）h（x）=af（x+2）+g（x）=aln（x+1）+e^x-2x，則$h'（x）=\frac{a}{x+1}+{e^x}-2$，通過(guò)①當(dāng)a≤0時(shí)，②當(dāng)a＞0時(shí)，i當(dāng)a≥1時(shí)，ii當(dāng)0＜a＜1時(shí)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，推出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{1}{x-1}-a=\frac{1+a-ax}{x-1}，（x＞1）$，由f'（x）=0得$x=1+\frac{1}{a}$，
當(dāng)$x∈（1，1+\frac{1}{a}）$時(shí)，f'（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；
當(dāng)$x∈（1+\frac{1}{a}，+∞）$時(shí)，f'（x）＜0，f（x）為減函數(shù)…..（2分）
（i）當(dāng)a≥1時(shí)，$1+\frac{1}{a}≤2$，f（x）在區(qū)間[2，3]上為減函數(shù)，f（x）_min=f（3）=ln2-a
（ii）當(dāng)$0＜a≤\frac{1}{2}$時(shí)，$1+\frac{1}{a}≥3$，f（x）在區(qū)間[2，3]上為增函數(shù)，f（x）_min=f（2）=0
（iii）當(dāng)$\frac{1}{2}＜a＜1$時(shí)，$2＜1+\frac{1}{a}＜3$，
若$\frac{1}{2}＜a＜ln2$時(shí)，f（x）_min=f（2）=0；若ln2≤a＜1時(shí)，f（x）_min=f（3）=ln2-a
綜上，當(dāng)a≥ln2時(shí)，f（x）_min=ln2-a；當(dāng)0＜a＜ln2時(shí)，f（x）_min=0；…（5分）
（2）h（x）=af（x+2）+g（x）=aln（x+1）+e^x-2x，則$h'（x）=\frac{a}{x+1}+{e^x}-2$
①當(dāng)a≤0時(shí)，h'（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，則h'（x）≥h'（0）=a-1，∵a-1＜0∴存在x₀∈（0，+∞），使得h'（x₀）=0，于是h（x）在區(qū)間（0，x₀）上單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，h（x）＜h（0）=-1與h（x）≥-1恒成立相矛盾，不符合題意…．（7分）
②當(dāng)a＞0時(shí)，令φ（x）=e^x-（x+1），（x≥0）則φ'（x）=e^x-1≥0，即φ（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，∴φ（x）≥φ（0）=e⁰-1=0，即e^x≥x+1．∴$h'（x）≥\frac{a}{x+1}+（{x+1}）-2≥2\sqrt{a}-2$
i當(dāng)a≥1時(shí)，h'（x）≥0，于是，h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，∴h（x）≥h（0）=-1恒成立，符合題意
ii當(dāng)0＜a＜1時(shí)，$h''（x）=-\frac{a}{{{{（x+1）}^2}}}+{e^x}$在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
則h''（x）≥h''（0）=1-a＞0，即h'（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，所以h'（x）≥h'（0）=a-1∵a-1＜0∴存在x₀∈（0，+∞），使得h'（x₀）=0，于是h（x）在區(qū)間（0，x₀）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，h（x）＜h（0）=-1，與h（x）≥-1恒成立相矛盾，不符合題意．
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）…..…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，二次求導(dǎo)以及函數(shù)的最值的轉(zhuǎn)化，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．