Question

4．有以下命題：
①對任意的α∈R都有sin3α=3sinα-4sin³α成立；
②對任意的△ABC都有等式a=bcosC+ccosB成立；
③滿足“三邊是連續(xù)的三個(gè)正整數(shù)且最大角是最小的2倍”的三角形存在且唯一；
④若A，B是鈍角△ABC的二銳角，則sinA+sinB＜cosA+cosB．
其中正確的命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 ①通過sin3α=sin（α+2α）、利用二倍角公式及平方關(guān)系化簡可知正確；②利用正弦定理化簡可知正確；③假設(shè)存在正整數(shù)k、k+1、k-1分別為三角形ABC的三邊長，
且其對應(yīng)的角分別為A、B、C，利用三角形內(nèi)角和可知36°＜C＜45°，利用正弦定理化簡可知cosC=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{k-1}$，進(jìn)而求出不等式$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{k-1}$＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$的正整數(shù)解并檢驗(yàn)即得結(jié)論；④通過A、B是鈍角△ABC的二銳角可知0°＜B＜90°-A＜90°，進(jìn)而sinB＜sin（90°-A）=cosB，同理cosA＞cos（90°-B）=sinA，整理即得結(jié)論．

解答 解：①對任意的α∈R都有sin3α=sin（α+2α）
=sinαcos2α+cosαsin2α
=sinα（cos²α-sin²α）+2sinαcos²α
=sinα（1-2sin²α）+2sinα（1-sin²α）
=3sinα-4sin³α，
故①正確；
②對任意的△ABC都有$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，
∴a=2RsinA
=2Rsin（B+C）
=2RsinBcosC+2RsinCcosB
=bcosC+ccosB，
故②正確；
③假設(shè)存在正整數(shù)k、k+1、k-1分別為三角形ABC的三邊長，
且其對應(yīng)的角分別為A、B、C，
∴$\frac{k+1}{sinB}$=$\frac{k}{sinA}$=$\frac{k-1}{sinC}$=2R，
∵B=2C，
∴sinB=sin2C=2sinCcosC，
∴$\frac{k+1}{2sinCcosC}$=$\frac{k-1}{sinC}$，即cosC=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{k-1}$，
又∵C＜A＜B，即C＜A＜2C，
∴36°＜C＜45°，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜cosC＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{k-1}$＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{k-1}$＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$，
∴$\sqrt{3}$+1＜k-1＜$2\sqrt{2}+$2，
∴$\sqrt{3}$+2＜k＜$2\sqrt{2}+$3，
∴k=4或k=5，
經(jīng)檢驗(yàn)可知當(dāng)k=5時(shí)不滿足題意，
故③正確；
④∵A，B是鈍角△ABC的二銳角，
∴A+B＜90°，
∴0°＜B＜90°-A＜90°，
∴sinB＜sin（90°-A）=cosA，
同理cosA＞cos（90°-B）=sinB，
∴sinA+sinB＜cosA+cosB，
故④正確；
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，注意解題方法的積累，屬于中檔題．