Question

12．已知f（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}$-mlnx  （m∈R）
（1）若函數(shù)f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)m=2時(shí)，求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大，最小值；
（3）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）若函數(shù)f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數(shù)，?f′（x）≥0在（$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立．利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出；
（3）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）若函數(shù)f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函數(shù)，
則f′（x）≥0在（$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立．                
而f′（x）=x-$\frac{m}{x}$，即m≤x²在（$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，
可得m≤$\frac{1}{4}$．
（2）當(dāng)m=2時(shí)，f′（x）=x-$\frac{2}{x}$=$\frac{{x}^{2}-2}{x}$，
令f′（x）=0得x=±$\sqrt{2}$，
當(dāng)x∈[1，$\sqrt{2}$）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（$\sqrt{2}$，e）時(shí)，f′（x）＞0．
故x=$\sqrt{2}$是函數(shù)f（x）在[1，e]上唯一的極小值點(diǎn)，
故f（x）_min=f（$\sqrt{2}$）=1-ln2，
又f（1）=$\frac{1}{2}$，f（e）=$\frac{1}{2}$e²-2=$\frac{{e}^{2}-4}{2}$＞$\frac{1}{2}$，
故f（x）_max=$\frac{{e}^{2}-4}{2}$；
（3）f′（x）=x-$\frac{m}{x}$，（x＞0），
當(dāng)m≤0時(shí)，f′（x）＞0對(duì)x＞0恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
當(dāng)m＞0時(shí)，令f′（x）=0，解得：x=$\sqrt{m}$，
∴0＜x＜$\sqrt{m}$時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減，
x＞$\sqrt{m}$時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．