【題目】在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中,E是BC的中點,F(xiàn)是DD1的中點,
(1)求證:CF∥平面A1DE;
(2)求二面角A1﹣DE﹣A的余弦值.
【答案】
(1)解:分別以DA,DC,DD1為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,
則A(2,0,0),A1(2,0,2),E(1,2,0),
D(0,0,0),C(0,2,0),F(xiàn)(0,0,1),則 =(2,0,2), =(1,2,0).
設平面A1DE的法向量是 ,
由 ,取 =(﹣2,1,2).
由 =(0,﹣2,1),得 ,所以CF∥平面A1DE.
(2)面DEA的一個法向量為 .
cos< , >= .
∴面角A1﹣DE﹣A的余弦值為 .
【解析】先分別以DA,DC,DD1為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,則A(2,0,0),A1(2,0,2),E(1,2,0),D(0,0,0),C(0,2,0),F(xiàn)(0,0,1),再寫出向量 , ,的坐標,求出平面A1DE的法向量 .(1)利用向量坐標之間的關系證得 ,從而得出CF∥平面A1DE.(2)利用法向量,利用向量的夾角公式求二面角A1﹣DE﹣A的余弦值.
【考點精析】掌握直線與平面平行的判定是解答本題的根本,需要知道平面外一條直線與此平面內的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡記為:線線平行,則線面平行.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某算法的程序框圖如圖所示,其中輸入的變量在1,2,3,…,24這24個整數中等可能隨機產生.
(Ⅰ)分別求出按程序框圖正確編程運行時輸出的值為的概率 (=1,2,3);
(Ⅱ)甲、乙兩同學依據自己對程序框圖的理解,各自編寫程序重復運行n次后,統(tǒng)計記錄了輸出的值為 (=1,2,3)的頻數.以下是甲、乙所作頻數統(tǒng)計表的部分數據.
甲的頻數統(tǒng)計表(部分)
運行 次數n | 輸出y的值 為1的頻數 | 輸出y的值 為2的頻數 | 輸出y的值 為3的頻數 |
30 | 14 | 6 | 10 |
… | … | … | … |
2 100 | 1 027 | 376 | 697 |
乙的頻數統(tǒng)計表(部分)
運行 次數n | 輸出y的值 為1的頻數 | 輸出y的值 為2的頻數 | 輸出y的值 為3的頻數 |
30 | 12 | 11 | 7 |
… | … | … | … |
2 100 | 1 051 | 696 | 353 |
當n=2100時,根據表中的數據,分別寫出甲、乙所編程序各自輸出的值為 (=1,2,3)的頻率(用分數表示),并判斷兩位同學中哪一位所編寫程序符合算法要求的可能性較大.
(Ⅲ)將按程序框圖正確編寫的程序運行3次,求輸出的值為2的次數ξ的分布列及數學期望.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知分別是橢圓的左、右焦點,離心率為,分別是橢圓的上、下頂點,.
(1)求橢圓的方程;
(2)過作直線與交于兩點,求三角形面積的最大值(是坐標原點).
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】【選修4—4:坐標系與參數方程】
將圓上每一點的橫坐標保持不變,縱坐標變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍,得曲線C.
(Ⅰ)寫出C的參數方程;
(Ⅱ)設直線與C的交點為,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求過線段的中點且與垂直的直線的極坐標方程.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】某校設計了一個實驗考察方案:考生從6道備選題中隨機抽取3道題,按照題目要求獨立完成全部實驗操作,規(guī)定:至少正確完成其中的2道題便可通過.己知6道備選題中考生甲有4道能正確完成,2道題不能完成;考生乙每題正確完成的概率都是 ,且每題正確完成與否互不影響.
(I) 求甲考生通過的概率;
(II) 求甲、乙兩考生正確完成題數的概率分布列,和甲、乙兩考生的數學期望;
(Ⅲ)請分析比較甲、乙兩考生的實驗操作能力.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在無窮數列中,,對于任意,都有,. 設, 記使得成立的的最大值為.
(1)設數列為1,3,5,7,,寫出,,的值;
(2)若為等差數列,求出所有可能的數列;
(3)設,,求的值.(用表示)
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