Question

12．如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PDC是正三角形，底面ABCD是邊長為2$\sqrt{3}$的菱形，∠DAB=120°，且側(cè)面PDC與底面垂直，M為PB的中點．
（1）求證：PA⊥平面CDM；
（2）求二面角D-MC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立空間直角坐標系，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理即可證明DM⊥BM；
（2）利用向量法求出平面的法向量，利用向量法進行求解即可．

解答 證明（1）由底面ABCD是邊長為2$\sqrt{3}$的菱形，∠DAB=120°，且側(cè)面PDC與底面垂直，
∴DC=2$\sqrt{3}$，D0=$\sqrt{3}$，則OA⊥DC，
建立以O(shè)為坐標原點，OA，OC，OP分別為x，y，z軸的空間直角坐標系如圖
則A（3，0，0），P（0，0，3），D（0，-$\sqrt{3}$，0），B（3，2$\sqrt{3}$，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），
∵M為PB的中點．
∴M（$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{DM}$=（$\frac{3}{2}$，2$\sqrt{3}$，$\frac{3}{2}$），
$\overrightarrow{PA}$=（3，0，-3），$\overrightarrow{DC}$=（0，2$\sqrt{3}$，0），
則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{DM}$=$\frac{3}{2}$×3+2$\sqrt{3}$×0-$\frac{3}{2}$×3=0，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{DC}$=0，
則PA⊥DM，PA⊥DC，
∵CD∩DM=D，∴PA⊥平面DMC．
（2）$\overrightarrow{CM}$=（$\frac{3}{2}$，0，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{CA}$=（3，-$\sqrt{3}$，0），
設(shè)平面AMC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{CM}$=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{CA}$=0，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}z=0}\\{3x-\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，
令x=1，則y=$\sqrt{3}$，z=-1，則$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，-1），
同理可得平面CDM的法向量為$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{PA}$=（3，0，-3），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{6}{\sqrt{5}•3\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
即二面角D-MC-B的余弦值是$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題主要考查直線垂直的判定以及二面角的求解，建立空間直角坐標系，利用向量法進行求解，綜合性較強，運算量較大．