14.在如圖所示的四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為正方形,PA⊥CD,BC⊥平面PAB,且E,M,N分別為PD,CD,AD的中點(diǎn),$\overrightarrow{PF}$=3$\overrightarrow{FD}$.
(1)證明:PB∥平面FMN;
(2)若PA=AB,求二面角E-AC-B的余弦值.

分析 (1)連結(jié)BD,分別交AC、MN于點(diǎn)O,G,連結(jié)EO、FG,推導(dǎo)出EO∥PB,F(xiàn)G∥EO,PB∥FG,由此能證明PB∥平面FMN.
(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,由此能求出二面角E-AC-B的余弦值.

解答 證明:(1)連結(jié)BD,分別交AC、MN于點(diǎn)O,G,連結(jié)EO、FG,
∵O為BD中點(diǎn),E為PD中點(diǎn),∴EO∥PB,
又$\overrightarrow{PF}$=3$\overrightarrow{FD}$,∴F為ED中點(diǎn),又CM=MD,AN=DN,∴G為OD的中點(diǎn),
∴FG∥EO,∴PB∥FG,
∵FG?平面FMN,PB?平面FMN,
∴PB∥平面FMN.
解:(2)∵BC⊥平面PAB,∴BC⊥PA,又PA⊥CD,BC∩CD=C,
∴PA⊥平面ABCD,
如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)PA=AB=2,則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),E(0,1,1),
則$\overrightarrow{AC}$=(2,2,0),$\overrightarrow{AE}$=(0,1,1),
平面ABCD的一個(gè)向向量$\overrightarrow{m}$=(0,0,1),
設(shè)平面AEC的法向量為$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=2x+2y=0}\end{array}\right.$,取x=1,得$\overrightarrow{n}$=(1,-1,1),
∴cos<$\overrightarrow{n},\overrightarrow{m}$>=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,
由圖知二面角E-AC-B為鈍角,
∴二面角E-AC-B的余弦值為-$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運(yùn)用.

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