Question

形如的函數(shù)稱為“冪指型函數(shù)”，它的求導(dǎo)過(guò)程可概括成：取對(duì)數(shù)——兩邊對(duì)求導(dǎo)——代入還原；例如：，取對(duì)數(shù)，對(duì)求導(dǎo)，代入還原；給出下列命題:

①當(dāng)時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單增，在上單減；③當(dāng)時(shí)，方程有根；④當(dāng)時(shí)，若方程有兩根，則；

其中正確的命題是

 

Answer 1

①②④

【解析】

試題分析：對(duì)①，當(dāng)時(shí)，函數(shù)即為，兩邊取對(duì)數(shù)得，兩邊求導(dǎo)得，將代入即得；正確.

對(duì)②，當(dāng)時(shí)，函數(shù)兩邊取對(duì)數(shù)得，兩邊取對(duì)數(shù)得.由得，所以在上單增，在上單減，正確；

對(duì)③，由得.令，則，所以.所以當(dāng)時(shí)，有解.由得，故③錯(cuò)；

對(duì)④，由得.令，則.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111407043200118802/SYS201411140704336262933336_DA/SYS201411140704336262933336_DA.026.png">，所以在上單減，在上單增，.所以當(dāng)時(shí)，若方程有兩根.由得，.又結(jié)合圖象易得，當(dāng)時(shí)方程只有一個(gè)根，所以.

考點(diǎn)：新定義及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.