Question

【題目】設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且Sn=2n﹣1．?dāng)?shù)列{bn}滿(mǎn)足b1=2，bn+1﹣2bn=8an ．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
（2）證明：數(shù)列{ }為等差數(shù)列，并求{bn}的通項(xiàng)公式．
（3）求{bn}的前n項(xiàng)和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=2﹣1=1；

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣1；

上式對(duì)n=1也成立．

則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n﹣1；

（2）證明：bn+1﹣2bn=8an=82n﹣1=2n+2，

兩邊同除以2n+1，可得

﹣ =2，

可得數(shù)列{ }是首項(xiàng)為 =1，公差為2的等差數(shù)列；

即有 =1+2（n﹣1）=2n﹣1，

則{bn}的通項(xiàng)公式為bn=（2n﹣1）2n；

（3）解：{bn}的前n項(xiàng)和Tn=12+322+523+…+（2n﹣1）2n，

可得2Tn=122+323+524+…+（2n﹣1）2n+1，

兩式相減可得，﹣Tn=2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）2n+1

=2+2 ﹣（2n﹣1）2n+1，

化簡(jiǎn)可得Tn=6+（2n﹣3）2n+1．

【解析】（1）運(yùn)用當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1；當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 計(jì)算即可得到所求通項(xiàng)公式；（2）對(duì)bn+1﹣2bn=2n+2 ， 兩邊同除以2n+1 ， 由等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，即可得到所求；（3）運(yùn)用數(shù)列的求和方法：錯(cuò)位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求和．
【考點(diǎn)精析】利用數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．