Question

求下列函數(shù)單調(diào)區(qū)間：
（1）y=f(x)=x3-

1

2

x2-2x+5；
（2）y=

x2-1

x

；
（3）y=

k2

x

+x（k＞0）；
（4）y=2x²-lnα．

Answer 1

分析：首先求出函數(shù)的導數(shù)，然后令f′（x）=0，解出函數(shù)的極值點，最好根據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系進行求解．

解答：解：（1）由題意得f′（x）=3x²-x-2，
令f′（x）=0，解得x=1或-

2

3

，
當x＜-

2

3

或x＞1時，f′（x）＞0，
∴（-∞，-

2

3

）∪（1，+∞）為f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，
當-

2

3

≤x≤1時，f′（x）＜0，
∴[-

2

3

，1]為f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．
（2）∵y=

x2-1

x

，
∴y′=

x2+1

x2

＞0，
∴y在（-∞，+∞）上是增函數(shù)；
∴y的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞）；
（3）∵y=

k2

x

+x（k＞0），
∴y′=

-k2

x2

+1=

x2-k2

x2

令y′=0得，x²-k²=0，
解得x=±k，
∴當y′＞0時，即y在（k，+∞）∪（-∞，-k）上為增函數(shù)；
當y′＜0時，即y在[-k，k]上為減函數(shù)；
（4）∵y=2x²-lnα，
∴y′=4x，
令y′=0，解得x=0，
∴當x＞0時，y′＞0，y為增函數(shù)；
當x＜0時，y′＜0，y為減函數(shù)；
∴y的增區(qū)間為（0，+∞），減區(qū)間為（-∞，0）；

點評：此題主要考查函數(shù)導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，需要掌握并會熟練運用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性．