【題目】已知 =( sinx,2), =(2cosx,cos2x),函數f(x)= ,
(1)求函數f(x)的值域;
(2)在△ABC中,角A,B,C和邊a,b,c滿足a=2,f(A)=2,sinB=2sinC,求邊c.
【答案】
(1)解:∵ =( sinx,2), =(2cosx,cos2x),
∴f(x)= =2 sinxcosx+2cos2x= sin2x+cos2x+1=2sin(2x+ )+1,
∵﹣1≤sin(2x+ )≤1,
∴﹣1≤2sin(2x+ )+1≤3,
∴函數f(x)的值域為[﹣1,3]
(2)解:∵f(A)=2,
∴2sin(2A+ )+1=2,
∴sin(2A+ )=
∴2A+ =2kπ+ ,或2A+ =2kπ+ ,k∈Z,
∴A=kπ,(舍去),A=kπ+ ,k∈Z,
∵0<A<π,
∴A= ,
∵sinB=2sinC,由正弦定理可得b=2c,
∵a=2,由余弦定理可得,a2=b2+c2﹣2bccosA,
∴3c2=4,
解得c= .
【解析】(1)根據向量的坐標運算以及二倍角公式,化簡求出f(x),根據三角函數的性質求出值域;(2)先求出A的大小,再根據正弦余弦定理即可求出.
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【題目】完成下列進位制之間的轉化.
(1)10231(4)=________(10);
(2)235(7)=________(10);
(3)137(10)=________(6);
(4)1231(5)=________(7);
(5)213(4)=________(3);
(6)1010111(2)=________(4).
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【題目】某工廠生產某種水杯,每個水杯的原材料費、加工費分別為30元、m元(m為常數,且2≤m≤3),設每個水杯的出廠價為x元(35≤x≤41),根據市場調查,水杯的日銷售量與ex(e為自然對數的底數)成反比例,已知每個水杯的出廠價為40元時,日銷售量為10個.
(1)求該工廠的日利潤y(元)與每個水杯的出廠價x(元)的函數關系式;
(2)當每個水杯的出廠價為多少元時,該工廠的日利潤最大,并求日利潤的最大值.
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【題目】甲、乙兩個糧庫要向A,B兩鎮(zhèn)運送大米,已知甲庫可調出100 t大米,乙?guī)炜烧{出80 t大米,A鎮(zhèn)需70 t大米,B鎮(zhèn)需110 t大米.兩庫到兩鎮(zhèn)的路程和運費如下表:
這兩個糧庫各運往A,B兩鎮(zhèn)多少t大米,才能使總運費最?此時總運費是多少?
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【題目】一次猜獎游戲中,1,2,3,4四扇門里擺放了, , , 四件獎品(每扇門里僅放一件).甲同學說:1號門里是,3號門里是;乙同學說:2號門里是,3號門里是;丙同學說:4號門里是,2號門里是;丁同學說:4號門里是,3號門里是.如果他們每人都猜對了一半,那么4號門里是( )
A. B. C. D.
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【題目】已知數列{an}是首項為a1= ,公比q= 的等比數列,設bn+2=3 an(n∈N*),數列{cn}滿足cn=anbn .
(1)求證:{bn}是等差數列;
(2)求數列{cn}的前n項和Sn;
(3)若cn≤ +m﹣1對一切正整數n恒成立,求實數m的取值范圍.
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【題目】電視臺播放甲、乙兩套連續(xù)劇,每次播放連續(xù)劇時,需要播放廣告.已知每次播放甲、乙兩套連續(xù)劇時,連續(xù)劇播放時長、廣告播放時長、收視人次如下表所示:
連續(xù)劇播放時長(分鐘) | 廣告播放時長(分鐘) | 收視人次(萬) | |
甲 | 70 | 5 | 60 |
乙 | 60 | 5 | 25 |
已知電視臺每周安排的甲、乙連續(xù)劇的總播放時間不多于600分鐘,廣告的總播放時間不少于30分鐘,且甲連續(xù)劇播放的次數不多于乙連續(xù)劇播放次數的2倍.分別用,表示每周計劃播出的甲、乙兩套連續(xù)劇的次數.
(1)用,列出滿足題目條件的數學關系式,并畫出相應的平面區(qū)域;
(2)問電視臺每周播出甲、乙兩套連續(xù)劇各多少次,才能使收視人次最多?
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【題目】如圖,在幾何體中,底面為矩形, , , , , 為棱上一點,平面與棱交于點.
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)求證: ;
(Ⅲ)若,試問平面是否可能與平面垂直?若能,求出值;若不能,說明理由。
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