【題目】已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1= ,公比q= 的等比數(shù)列,設(shè)bn+2=3 an(n∈N*),數(shù)列{cn}滿足cn=anbn
(1)求證:{bn}是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn;
(3)若cn +m﹣1對(duì)一切正整數(shù)n恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

【答案】
(1)證明:由題意知,an=( n

,

∴b1=1

∴bn+1﹣bn=3 an+1﹣3 an=3 =3 q=3

∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1,公差為3的等差數(shù)列


(2)解:由(1)知,an=( n.bn=3n﹣2

∴Cn=(3n﹣2)×( n

∴Sn=1× +4×( 2+…+(3n﹣2)×( n

于是 Sn=1×( 2+4×( 3+…(3n﹣2)×( n+1,

兩式相減得 Sn= +3×[( 2+( 3+…+( n)﹣(3n﹣2)×( n+1,

= ﹣(3n+2)×( n+1

∴Sn= n


(3)解:∵Cn+1﹣Cn=(3n+1)×( n+1﹣(3n﹣2)×( n=9(1﹣n)×( n+1,

∴當(dāng)n=1時(shí),C2=C1=

當(dāng)n≥2時(shí),Cn+1<Cn,即C2=C1>C3>C4>…>Cn

∴當(dāng)n=1時(shí),Cn取最大值是

即m2+4m﹣5≥0解得m≥1或m≤﹣5


【解析】(1)根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得an , 代入 求得bn+1﹣bn為常數(shù),進(jìn)而判斷出數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.(2)由(1)可分別求得an和bn , 進(jìn)而求得Cn進(jìn)而用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和.(3)把(2)中的Cn , 代入Cn+1﹣Cn結(jié)果小于0,進(jìn)而判斷出當(dāng)n≥2時(shí),Cn+1<Cn , 進(jìn)而可推斷出當(dāng)n=1時(shí),Cn取最大值,問題轉(zhuǎn)化為 ,求得m的取值范圍.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了等差關(guān)系的確定和數(shù)列的前n項(xiàng)和的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),即=d ,(n≥2,n∈N)那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列;數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系才能正確解答此題.

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