Question

【題目】如圖1，平面四邊形ABCD中，，，且BC=CD.將CBD沿BD折成如圖2所示的三棱錐，使二面角的大小為.

（1）證明：；

（2）求直線BC'與平面C'AD所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

(1) 取得中點,連接,根據已知條件可以證明平面,從而可證;

(2) 取得中點,取為的中點,通過證明,,,然后以為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系.再用空間向量可以求得結果.

(1)證明:平面四邊形中,,,所以△為正三角形,

在三棱錐中,取得中點,連接,則,

因為,所以平面,從而.

(2)設,則,

由(1)知,為二面角的平面角,所以,

在△中,利用余弦定理可求得,

所以△為等腰三角形,取得中點,則,又,

所以平面,取為的中點,則,且,

所以以為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系.

則,

,

設平面的法向量,則,即,

可取,

所以.

所以直線BC'與平面C'AD所成角的正弦值為.