【題目】某學校決定在主干道旁邊挖一個半橢圓形狀的小湖,如圖所示,AB=4,O為AB的中點,橢圓的焦點P在對稱軸OD上,M、N在橢圓上,MN平行AB交OD與G,且G在P的右側(cè),△MNP為燈光區(qū),用于美化環(huán)境.
(1)若學校的另一條道路EF滿足OE=3,tan∠OEF=2,為確保道路安全,要求橢圓上任意一點到道路EF的距離都不小于,求半橢圓形的小湖的最大面積:(橢圓()的面積為)
(2)若橢圓的離心率為,要求燈光區(qū)的周長不小于,求PG的取值范圍.
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)由的長求得的值.首先求出直線所在的直線方程,設(shè)出與此直線平行,且與半橢圓相切的直線方程,利用兩平行線間的距離求得相切直線的方程,代入橢圓方程利用判別式等于零求得的值.(2)根據(jù)橢圓的離心率和的值,利用求得的值,即求得橢圓方程,求得焦點的坐標.設(shè)出點的坐標,代入橢圓方程,由此寫出周長的表達式,列不等式,解不等式可求得點橫坐標的取值范圍,減去后得到的取值范圍.
(1)因為,所以直線的斜率為,
所以所在的直線方程為。
因為橢圓上任意一點到道路的距離都小于,
所以橢圓最大面積時與一條平行于且距離為的直線相切,
設(shè)直線,
由兩條直線之間的距離為,所以,
解得或(舍棄)
設(shè)橢圓方程為,
由于得到
因為直線與橢圓相切,所以,解得,
所以橢圓方程為,
所以橢圓分面積為。
(2)設(shè)橢圓方程為,
因為橢圓的離心率為,所以,所以。
所以橢圓方程為
設(shè),則燈光區(qū)的周長
由題意,
所以,所以
∴ ,
所以,即,
又因為在的右側(cè),所以,所以
所以的取值范圍是。
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【題目】若函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的任意x1 , x2 , 當f(x1)=f(x2)時,總有x1=x2 , 則稱函數(shù)f(x)為單純函數(shù),例如函數(shù)f(x)=x是單純函數(shù),但函數(shù)f(x)=x2不是單純函數(shù).若函數(shù) 為單純函數(shù),則實數(shù)m的取值范圍是 .
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【題目】設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊分別為a,b,c,且a+c=6,b=2,cosB= .
(1)求a,c的值;
(2)求sin(A﹣B)的值.
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【題目】已知橢圓E: + =1的焦點在x軸上,A是E的左頂點,斜率為k(k>0)的直線交E于A,M兩點,點N在E上,MA⊥NA.
(Ⅰ)當t=4,|AM|=|AN|時,求△AMN的面積;
(Ⅱ)當2|AM|=|AN|時,求k的取值范圍.
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【題目】若函數(shù)f(x)= +ln( +x)+ cos xdx在區(qū)間[﹣k,k](k>0)上的值域為[m,n],則m+n的值是( )
A.0
B.2
C.4
D.6
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【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1C1C是邊長為4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(Ⅰ)求證:AA1⊥平面ABC;
(Ⅱ)求證二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值;
(Ⅲ)證明:在線段BC1上存在點D,使得AD⊥A1B,并求 的值.
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【題目】已知定義在R上的可導函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x),滿足f′(x)<f(x),且f(x+2)為偶函數(shù),f(4)=1,則不等式f(x)<ex的解集為( )
A.(﹣2,+∞)
B.(0,+∞)
C.(1,+∞)
D.(4,+∞)
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