【題目】已知橢圓E: + =1的焦點在x軸上,A是E的左頂點,斜率為k(k>0)的直線交E于A,M兩點,點N在E上,MA⊥NA.
(Ⅰ)當t=4,|AM|=|AN|時,求△AMN的面積;
(Ⅱ)當2|AM|=|AN|時,求k的取值范圍.
【答案】解:(Ⅰ)方法一、t=4時,橢圓E的方程為 + =1,A(﹣2,0),
直線AM的方程為y=k(x+2),代入橢圓方程,整理可得(3+4k2)x2+16k2x+16k2﹣12=0,
解得x=﹣2或x=﹣ ,則|AM|= |2﹣ |= ,
由AN⊥AM,可得|AN|= = ,
由|AM|=|AN|,k>0,可得 = ,
整理可得(k﹣1)(4k2+k+4)=0,由4k2+k+4=0無實根,可得k=1,
即有△AMN的面積為 |AM|2= ( )2= ;
方法二、由|AM|=|AN|,可得M,N關于x軸對稱,
由MA⊥NA.可得直線AM的斜率為1,直線AM的方程為y=x+2,
代入橢圓方程 + =1,可得7x2+16x+4=0,
解得x=﹣2或﹣ ,M(﹣ , ),N(﹣ ,﹣ ),
則△AMN的面積為 × ×(﹣ +2)= ;
(Ⅱ)直線AM的方程為y=k(x+ ),代入橢圓方程,
可得(3+tk2)x2+2t k2x+t2k2﹣3t=0,
解得x=﹣ 或x=﹣ ,
即有|AM|= | ﹣ |= ,
|AN|═ = ,
由2|AM|=|AN|,可得2 = ,
整理得t= ,
由橢圓的焦點在x軸上,則t>3,即有 >3,即有 <0,
可得 <k<2,即k的取值范圍是( ,2)
【解析】(Ⅰ)方法一、求出t=4時,橢圓方程和頂點A,設出直線AM的方程,代入橢圓方程,求交點M,運用弦長公式求得|AM|,由垂直的條件可得|AN|,再由|AM|=|AN|,解得k=1,運用三角形的面積公式可得△AMN的面積;方法二、運用橢圓的對稱性,可得直線AM的斜率為1,求得AM的方程代入橢圓方程,解方程可得M,N的坐標,運用三角形的面積公式計算即可得到;(Ⅱ)直線AM的方程為y=k(x+ ),代入橢圓方程,求得交點M,可得|AM|,|AN|,再由2|AM|=|AN|,求得t,再由橢圓的性質可得t>3,解不等式即可得到所求范圍.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校舉行高二理科學生的數(shù)學與物理競賽,并從中抽取72名學生進行成績分析,所得學生的及格情況統(tǒng)計如表:
物理及格 | 物理不及格 | 合計 | |
數(shù)學及格 | 28 | 8 | 36 |
數(shù)學不及格 | 16 | 20 | 36 |
合計 | 44 | 28 | 72 |
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),判斷是否是99%的把握認為“數(shù)學及格與物理及格有關”;
(2)若以抽取樣本的頻率為概率,現(xiàn)在該校高二理科學生中,從數(shù)學及格的學生中隨機抽取3人,記X為這3人中物理不及格的人數(shù),從數(shù)學不及格學生中隨機抽取2人,記Y為這2人中物理不及格的人數(shù),記ξ=|X﹣Y|,求ξ的分布列及數(shù)學期望. 附:x2= .
P(X2≥k) | 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.010 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1、A2 , 上、下頂點分別為B2、B1 , O為坐標原點,四邊形A1B1A2B2的面積為4,且該四邊形內切圓的方程為x2+y2= .
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若M、N是橢圓C上的兩個不同的動點,直線OM、ON的斜率之積等于﹣ ,試探求△OMN的面積是否為定值,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某學校決定在主干道旁邊挖一個半橢圓形狀的小湖,如圖所示,AB=4,O為AB的中點,橢圓的焦點P在對稱軸OD上,M、N在橢圓上,MN平行AB交OD與G,且G在P的右側,△MNP為燈光區(qū),用于美化環(huán)境.
(1)若學校的另一條道路EF滿足OE=3,tan∠OEF=2,為確保道路安全,要求橢圓上任意一點到道路EF的距離都不小于,求半橢圓形的小湖的最大面積:(橢圓()的面積為)
(2)若橢圓的離心率為,要求燈光區(qū)的周長不小于,求PG的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= ,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),則a+b+c的取值范圍是( )
A.(4,2018)
B.(4,2020)
C.(3,2020)
D.(2,2020)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一個盒中裝有編號分別為1,2,3,4的四個形狀大小完全相同的小球.
(1)從盒中任取兩球,求取出的球的編號之和大于5的概率.
(2)從盒中任取一球,記下該球的編號,將球放回,再從盒中任取一球,記下該球的編號,求的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知a,b,c分別是△ABC的三個內角A,B,C的三條對邊,且c2=a2+b2﹣ab.
(Ⅰ)求角C的大小;
(Ⅱ)求cosA+cosB的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.
(Ⅰ)求證:BD⊥A1C;
(Ⅱ)求二面角A﹣A1C﹣D1的余弦值;
(Ⅲ)在線段CC1上是否存在點P,使得平面A1CD1⊥平面PBD,若存在,求出 的值;若不存在,請說明理由.
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