Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．
（Ⅰ）求證：AA1⊥平面ABC；
（Ⅱ）求證二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；
（Ⅲ）證明：在線段BC1上存在點(diǎn)D，使得AD⊥A1B，并求 的值．

Answer 1

【答案】解：（I）證明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC．

又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，

∴AA1⊥平面ABC．

（II）解：由AC=4，BC=5，AB=3．

∴AC2+AB2=BC2，∴AB⊥AC．

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），

∴ ， ， ．

設(shè)平面A1BC1的法向量為 ，平面B1BC1的法向量為 =（x2，y2，z2）．

則 ，令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴ ．

，令x2=3，解得y2=4，z2=0，∴ ．

= = = ．

∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值為 ．

（III）設(shè)點(diǎn)D的豎坐標(biāo)為t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D ，

∴ = ， =（0，3，﹣4），

∵ ，∴ ，

∴ ，解得t= ．

∴ ．

【解析】（I）利用AA1C1C是正方形，可得AA1⊥AC，再利用面面垂直的性質(zhì)即可證明（II）利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC．通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個平面的法向量的夾角即可得到二面角；（III）設(shè)點(diǎn)D的豎坐標(biāo)為t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D ，利用向量垂直于數(shù)量積得關(guān)系即可得出．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用直線與平面垂直的判定，掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想即可以解答此題．