Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{1}{2}$x²+（1-b）x．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為8x-2y-3=0，求a，b的值；
（Ⅱ）若b=a+1，x₁，x₂是f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：f（x₁）+f（x₂）＜8ln2-12．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，利用曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為8x-2y-3=0，建立方程求a，b的值；
（Ⅱ）確定a＞4且x₁+x₂=a，x₁x₂=a，化簡(jiǎn)f（x₁）+f（x₂），構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可證明結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意可求得切點(diǎn)（1，2.5），f′（x）=$\frac{a}{x}$+x（1-b）
∴f（1）=0.5+1-b=2.5，f′（1）=a+1+1-b=4，解得a=1，b=-1----------（4分）
（Ⅱ）證明：∵b=a+1，∴f（x）=alnx+$\frac{1}{2}$x²-ax，則f′（x）=$\frac{{x}^{2}-ax+a}{x}$，
根據(jù)題意可得x²-ax+a=0在（0，+∞）上有兩個(gè)不同的根x₁，x₂，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a}{2}＞0}\\{{a}^{2}-4a＞0}\\{a＞0}\end{array}\right.$解得a＞4且x₁+x₂=a，x₁x₂=a，---------------（8分）
∴f（x₁）+f（x₂）=alnx₁x₂+$\frac{1}{2}$（x₁²+x₂²）-a（x₁+x₂）=alna-$\frac{1}{2}$a²-a．
令g（x）=xlnx=$\frac{1}{2}$x²-x（x＞4），則g′（x）=lnx-x，
令h（x）=lnx-x，則當(dāng)x＞4時(shí)，h′（x）=$\frac{1}{x}$-1＜0，∴h（x）在（4，+∞）上為減函數(shù)，
即h（x）＜h（4）=ln4-4＜0，
∴g（x）在（4，+∞）上為減函數(shù)，即g（x）＜g（4）=8ln2-12，
∴f（x₁）+f（x₂）＜8ln2-12------------------（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求單調(diào)區(qū)間和求極值，考查二次方程的韋達(dá)定理及運(yùn)用，考查構(gòu)造函數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查運(yùn)算和邏輯推理能力，屬于中檔題．