Question

2．如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，交△ABC的外接圓于點(diǎn)E，延長(zhǎng)AC交△DCE的外接圓于點(diǎn)F，DF=$\sqrt{14}$
（Ⅰ）求BD；
（Ⅱ）若∠AEF=90°，AD=3，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，運(yùn)用全等三角形的判定，可得△ABD≌△AFD，即可得到BD=DF；
（2）運(yùn)用對(duì)應(yīng)角相等，證得△DEF∽△FEA，可得EF²=ED•EA，設(shè)DE=x，求得EA，再由直角三角形DEF，運(yùn)用勾股定理，解方程可得DE．

解答 解：（1）由同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等可得，
∠ABD=∠AEC，∠DEC=∠DFC，
即有∠ABD=∠AFD，
又∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，可得∠BAD=∠FAD，
且AD=AD，可得△ABD≌△AFD，
則DB=DF=$\sqrt{14}$；
（2）由同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等可得，
∠DFE=∠DCE，∠DCE=∠BAE=∠EAC，
∴∠DFE=∠EAF，又∠DEF公用，
∴△DEF∽△FEA，
∴$\frac{EF}{EA}$=$\frac{DE}{FE}$，
∴EF²=ED•EA．
設(shè)DE=x，由AD=3，可得EA=3+x，
可得EF²=x（3+x），
在直角三角形DEF中，可得DE²+EF²=DF²，
即有x²+x（3+x）=14，
解得x=2（負(fù)的舍去）．
則DE的長(zhǎng)為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，三角形全等和相似的判定和性質(zhì)、直角三角形的勾股定理的運(yùn)用，考查推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．