【題目】設函數(shù)在
內有極值.
(1)求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若x1∈(0,1),x2∈(1,+∞).求證:f(x2)-f(x1)>e+2-.注:e是自然對數(shù)的底數(shù).
【答案】(1);(2)見解析.
【解析】分析:(1)函數(shù)的定義域為,求導數(shù),利用函數(shù)
在
內有極值,可得
在
內有解,令
,根據
,可設
,則
,從而可求實數(shù)
的取值范圍.
(2)求導函數(shù)確定函數(shù)的單調性,進而由
,可得
,由
,可得
,所以
,又
,即
,可得
在
上單調遞增,從問題得證.
詳解:(1)易知函數(shù)f(x)的定義域為(0,1)∪(1,+∞),
f′(x)=-
=
=
.
由函數(shù)f(x)在內有極值,可知方程f′(x)=0在
內有解,令g(x)=x2-(a+2)x+1=(x-α)(x-β).
不妨設0<α<,則β>e,又g(0)=1>0,
所以g=
-
+1<0,解得a>e+
-2.
(2)證明 由(1)知f′(x)>00<x<α或x>β,
f′(x)<0α<x<1或1<x<β,
所以函數(shù)f(x)在(0,α),(β,+∞)上單調遞增,在(α,1),(1,β)上單調遞減.
由x1∈(0,1)得f(x1)≤f(α)=ln α+,
由x2∈(1,+∞)得f(x2)≥f(β)=ln β+,
所以f(x2)-f(x1)≥f(β)-f(α).
由(1)易知α·β=1,α+β=a+2,
所以f(β)-f(α)=ln β-ln+a
=2ln β+a·
=2ln β+a·
=2lnβ+β-
.
記h(β)=2ln β+β- (β>e),
則h′(β)=+1+
=
2>0,
所以函數(shù)h(β)在(e,+∞)上單調遞增,
所以f(x2)-f(x1)≥h(β)>h(e).
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】將函數(shù)f(x)=sinx的圖象向右平移個單位,橫坐標縮小至原來的
倍(縱坐標不變)得到函數(shù)y=g(x)的圖象.
(1)求函數(shù)g(x)的解析式;
(2)若關于x的方程2g(x)-m=0在x∈[0,]時有兩個不同解,求m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設集合P={x|x2﹣x﹣6<0},Q={2a≤x≤a+3}.
(1)若P∪Q=P,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若P∩Q=,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)若P∩Q={x|0≤x<3},求實數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】[2019·清遠期末]一只紅鈴蟲的產卵數(shù)和溫度
有關,現(xiàn)收集了4組觀測數(shù)據列于下表中,根據數(shù)據作出散點圖如下:
溫度 | 20 | 25 | 30 | 35 |
產卵數(shù) | 5 | 20 | 100 | 325 |
(1)根據散點圖判斷與
哪一個更適宜作為產卵數(shù)
關于溫度
的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)
(2)根據(1)的判斷結果及表中數(shù)據,建立關于
的回歸方程(數(shù)字保留2位小數(shù));
(3)要使得產卵數(shù)不超過50,則溫度控制在多少以下?(最后結果保留到整數(shù))
參考數(shù)據:,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
5 | 20 | 100 | 325 | |
1.61 | 3 | 4.61 | 5.78 |
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【題目】函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=2sinπx(﹣3≤x≤5)的圖象所有交點的橫坐標之和等于( )
A.2 B.4 C.6 D.8
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x﹣2|
(1)當a=﹣3時,求不等式f(x)≥3的解集;
(2)若f(x)≤|x﹣4|的解集包含[1,2],求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=4cosxsin(x+)-1.
(1)求f(x)的最小正周期和單調遞減區(qū)間;
(2)將y=f(x)圖象上所有的點向右平行移動個單位長度,得到y=g(x)的圖象.若g(x)在(0,m)內是單調函數(shù),求實數(shù)m的最大值.
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