Question

給出下列四個命題：
①?x∈R，e^x≥ex；
②?x₀∈（1，2），使得（x₀²-3x₀+2）e^x₀+3x₀-4=0成立；
③在△ABC中，若tanA+tanB+tanC＞0，則△ABC是銳角三角形；
④已知長方體的長、寬、高分別為a，b，c，對角線長為l，則l³＞a³+b³+c³；
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,導數(shù)的綜合應用,解三角形,簡易邏輯

分析：①，令f（x）=e^x-ex，利用導數(shù)可求得當x=1時，f（x）=e^x-ex取得極小值，也是最小值，從而可判斷①；
②，依題意得：e^x₀=

4-3x0

x02-3x0+2

=

3( 4 3 -x0)

(x0-2)(x0-1)

，易判斷當

4

3

＜x＜2時，e^x₀＞0，從而判斷②；
③在△ABC中，依題意，利用兩角和的正切公式可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC＞0，可判斷③；
④畫出長方體，標出數(shù)據(jù)，利用作差法可判斷④．

解答： 解：①，令f（x）=e^x-ex，則f′（x）=e^x-e，
當x≥1時，f′（x）≥0，f（x）=e^x-ex在[1，+∞）上單調(diào)遞增；
當x＜1時，f′（x）＜0，f（x）=e^x-ex在（-∞，1）上單調(diào)遞減；
∴當x=1時，f（x）=e^x-ex取得極小值，也是最小值，又f（1）=e¹-e=0，
∴?x∈R，e^x≥ex，①正確；
②，∵（x₀²-3x₀+2）e^x₀+3x₀-4=0，
∴e^x₀=

4-3x0

x02-3x0+2

=

3( 4 3 -x0)

(x0-2)(x0-1)

，
當

4

3

＜x＜2時，

3( 4 3 -x0)

(x0-2)(x0-1)

＞0，
即?x₀∈（1，2），使得（x₀²-3x₀+2）e^x₀+3x₀-4=0成立，②正確；
③，在△ABC中，
∵tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1-tanAtanB）+tanC
=-tanC（1-tanAtanB）+tanC
=tanAtanBtanC＞0，
∴tanA＞0，tanB＞0，tanC＞0，
∴△ABC是銳角三角形，③正確；
④，∵l³-a³-b³-c³=（a²+b²+c²）•l-a³-b³-c³
=a²（l-a）+b²（l-b）+c²（l-c）＞0，
∴l(xiāng)³＞a³+b³+c³，④正確．
故答案為：①②③④．

點評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)及應用，考查導數(shù)的綜合應用，突出考查三角形的判斷及不等式的應用，屬于難題．