Question

設(shè)△ABC的內(nèi)角∠A，∠B，∠C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a，b，c，且b=2c，∠A=2∠B．
（1）求cosA的值；
（2）若△ABC的面積為

15

，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（1）因?yàn)锳=2B，所以sinA=sin2B=2sinBcosB，再由余弦定理，正弦定理，即可得到a，b，c的關(guān)系，代入數(shù)據(jù)，即可得到A；
（2）運(yùn)用三角形的面積公式，計(jì)算得到c，由（1）的結(jié)論即可得到a．

解答： 解：（1）因?yàn)锳=2B，所以sinA=sin2B=2sinBcosB，
由余弦定理得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

sinA

2sinB

，
所以由正弦定理可得a=2b•

a2+c2-b2

2ac

，
因?yàn)閎=2c，則a=2c•

a2+c2-4c2

ac

，則a=

6

c，
則cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

4c2+c2-6c2

4c2

=-

1

4

；
（2）△ABC的面積S=

1

2

bcsinA=

1

2

•2c2•

1- 1 16

=

15

，
解得，c=2．則a=2

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二倍角的正弦和余弦公式的運(yùn)用，考查正弦定理和余弦定理，以及三角形面積公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．