Question

已知函數f（x）=sinx．若f（x）+1≥ax+cosx在[0，π]上恒成立，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：三角函數的化簡求值

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：先將不等式轉化成函數利用導數，討論a，進而即可求出a的取值范圍．

解答： 解：設g（x）=sinx+1-ax-cosx，g′（x）=cosx-a+sinx=

2

sin（x+

π

4

）-a．
∵x∈[0，π]，∴

2

sin（x+

π

4

）∈[-1，

2

]．
當a≤-1時，g′（x）≥0在[0，π]上恒成立，
∴g（x）≥g（x）_min=g（0）=0成立，
故a≤-1；
當a≥

2

時，g′（x）≤0在[0，π]上恒成立，g（x）=g（π）=2-πa≥0，得a≤

2

π

，無解．
當-1＜a＜

2

時，則存在x₀∈（0，π]使得x∈（0，x₀）時，g（x）是增函數，x∈（x₀，π]時，g（x）是減函數，
故g（x）_min=g（0），或g（x）_min=g（π），
∴

g(0)≥0 g(π)≥0

，解得：a≤

2

π

，
故-1＜a≤

2

π

．
綜上所述：a≤

2

π

．
故答案為：a≤

2

π

．

點評：本題主要考察了導數的綜合應用，三角函數的化簡求值，考察了轉化思想，屬于中檔題．