【題目】設,。
(1)求的單調區(qū)間;
(2)討論零點的個數;
(3)當時,設恒成立,求實數的取值范圍.
【答案】(1) 的單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為。(2)見解析;(3)
【解析】
(1)直接對原函數求導,令導數大于0,解得增區(qū)間,令導數小于0,解得減區(qū)間;
(2)先判斷是f(x)的一個零點,當時,由f(x)=0得,,對函數求導得的大致圖像,分析y=a與交點的個數可得到函數f(x)的零點個數.
(3)不等式恒成立轉化為函數的最值問題,通過變形構造出函數h(x)=f(x)-ag(x),通過研究該函數的單調性與極值,進而轉化為該函數的最小值大于等于0恒成立,求得a即可.
(1),
當時,,遞增,當時,,g(x)遞減,
故的單調遞增區(qū)間為,單調遞減區(qū)間為.
(2)是f(x)的一個零點,當時,由f(x)=0得,,
,
當時,遞減且,
當時,,且時,遞減,
時,遞增,故,,
大致圖像如圖,
∴當時,f(x)有1個零點;
當a=e或時,f(x)有2個零點;;
當時, 有3個零點.
(3)h(x)=f(x)-ag(x)=x,
,
設的根為,即有
,可得,時,,遞減,
當時,,遞增,
,
∴
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,點,直線,設圓的半徑為1,圓心在上.
(1)若圓心也在直線上,過點作圓的切線,求切線的方程;
(2)若圓上存在點,使,求圓心的橫坐標的取值范圍.
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【題目】如圖,橢圓C:的右焦點為F,過點F的直線l與橢圓交于A、B兩點,直線n:x=4與x軸相交于點E,點M在直線n上,且滿足BM∥x軸.
(1)當直線l與x軸垂直時,求直線AM的方程;
(2)證明:直線AM經過線段EF的中點.
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【題目】已知橢:()過點,且橢圓的離心率為.過橢圓左焦點且斜率為1的直線與橢圓交于,兩點.
(1)求橢圓的方程;
(2)求線段的垂直平分線的方程;
(3)求三角形的面積.(為坐標原點)
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【題目】已知橢圓:過點和點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設直線與橢圓相交于不同的兩點, ,是否存在實數,使得?若存在,求出實數;若不存在,請說明理由.
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【題目】在平面直角坐標系中,已知曲線的參數方程為,以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(1)求曲線與曲線兩交點所在直線的極坐標方程;
(2)若直線的極坐標方程為,直線與軸的交點為,與曲線相交于兩點,求的值.
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