【題目】如圖,橢圓C:的右焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)F的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn),直線n:x=4與x軸相交于點(diǎn)E,點(diǎn)M在直線n上,且滿足BM∥x軸.
(1)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),求直線AM的方程;
(2)證明:直線AM經(jīng)過線段EF的中點(diǎn).
【答案】(1) 直線AM的方程為y=-x+或y=x-;(2)見證明
【解析】
(1)直線l與x軸垂直,可得直線l的方程,從而求解出點(diǎn)的坐標(biāo),由BM∥x軸可得點(diǎn)坐標(biāo),從而得出直線AM的方程;
(2)要證直線AM經(jīng)過線段EF的中點(diǎn),即證A,N,M三點(diǎn)共線,即證,設(shè)出兩點(diǎn),聯(lián)立直線與橢圓的方程,借助韋達(dá)定理從而得證.
解:(1)由c= =1,
∴F(1,0),
∵直線l與x軸垂直,
∴x=1,
由,
解得:
故當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為,
則點(diǎn)坐標(biāo)為,
此時(shí)直線AM的斜率為,
直線AM的方程為,
∴直線AM的方程為y=-x+;
當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為,
則點(diǎn)坐標(biāo)為,
此時(shí)直線AM的斜率為,
直線AM的方程為,
∴直線AM的方程為y=x-;
故直線AM的方程為y=-x+或y=x-;
(2)當(dāng)直線方程為時(shí),
直線BM與x軸重合,不滿足題意;
故可設(shè)直線l的方程為x=my+1,
由,
得3(my+1)2+4y2=12,
(3m2+4)y2+6my-9=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由韋達(dá)定理可得,
y1+y2=,y1y2=
∵EF的中點(diǎn)N ,點(diǎn)M(4,y2),
∴ =
×y2-y1=my1y2- (y1+y2)=-×=0.
所以,
故A,N,M三點(diǎn)共線,
所以直線AM經(jīng)過線段EF的中點(diǎn).
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【題目】已知定點(diǎn),動點(diǎn)在軸上運(yùn)動,過點(diǎn)作直線交軸于點(diǎn),延長至點(diǎn),使.點(diǎn)的軌跡是曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)若,是曲線上的兩個(gè)動點(diǎn),滿足,證明:直線過定點(diǎn);
(3)若直線與曲線交于,兩點(diǎn),且,,求直線的斜率的取值范圍.
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【題目】在直三棱柱中,,,D為線段AC的中點(diǎn).
(1)求證::
(2)求直線與平面所成角的余弦值;
(3)求二面角的余弦值.
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【題目】已知拋物線的準(zhǔn)線l經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn),且l與橢圓交于A,B兩點(diǎn),過橢圓N右焦點(diǎn)的直線交拋物線M于C,D兩點(diǎn),交橢圓于G,H兩點(diǎn),且面積為3.
(1)求橢圓N的方程;
(2)當(dāng)時(shí),求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),討論極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)若a,b分別為的最大零點(diǎn)和最小零點(diǎn),當(dāng)時(shí),證明:.
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【題目】“斗拱”是中國古代建筑中特有的構(gòu)件,從最初的承重作用,到明清時(shí)期集承重與裝飾作用于一體。在立柱頂、額枋和檐檁間或構(gòu)架間,從枋上加的一層層探出成弓形的承重結(jié)構(gòu)叫拱,拱與拱之間墊的方形木塊叫斗。如圖所示,是“散斗”(又名“三才升”)的三視圖,則它的體積為( )
A. B. C. 53 D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè),。
(1)求的單調(diào)區(qū)間;
(2)討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(3)當(dāng)時(shí),設(shè)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】學(xué)?萍夹〗M在計(jì)算機(jī)上模擬航天器變軌返回試驗(yàn),設(shè)計(jì)方案如圖:航天器運(yùn)行(按順時(shí)針方向)的軌跡方程為,變軌(即航天器運(yùn)行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞)后返回的軌跡是以軸為對稱軸、為頂點(diǎn)的拋物線的實(shí)線部分,降落點(diǎn)為.觀測點(diǎn)、同時(shí)跟蹤航天器.
(1)求航天器變軌后的運(yùn)行軌跡所在的曲線方程;
(2)試問:當(dāng)航天器在軸上方時(shí),觀測點(diǎn)、測得離航天器的距離分別為多少時(shí),應(yīng)向航天器發(fā)出變軌指令?
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